ANALYSE INDÉTERMINÉE. PREMIÈRE MÉTHODE
En considérant la première forme de la valeur de r, on voit que la valeur de r, correspondant à une valeur entière de x, ne peut être elle-
même entière qu'autant que l'on aura -^ égal à un nombre entier; et
comme 2 est premier avec 3, il faut et il suffit [Arit/imétirjiœ [l^S]] que X soit divisible par 3.
Soit donc ^ = 3^; il en résulte
j = a6 — X — 2^, ou bien f—i&—5t.
Si l'on considère la seconde valeur, on voit tout de suite que x doit ôlre un multiple de 3, ce qui donne
X = 3t; d'où résulte encore
7=2,6 — %x -h t, ou j = 26 — 5/. ■
Ces deux expressions de .r et de jr montrent que t doit être positif et
ne peut avoir une valeur plus grande que -t-j ou 5 -; si l'on veut obtenir des solutions positives pour x et f. Soit donc î = o, i, 2, 3, 4) 5; il en résulte
Ainsi, l'on peut satisfaire à la question de six manières différentes, savoir : avec 26 piè:es de 3 francs, sans aucune pièce de 5 francs ; avec 21 pièces de 3 francs et 3 pièces de 5 francs; avec 16 jjièces de 3 francs et 6 pièces de 5 francs; . . . et ainsi de suite,
ZV". £. — Soit fait, dans les deux formules, ^ = 6; il vient .r = 18, j = — 4; et cela voudrait dire que si, d'une part, on donne 18 pièces de 5 francs, il faut qu'on reçoive en échange 4 pièces de 3 francs, pour que le payement soit eS'ectué avec ces deux sortes de pièces.
On trouve , en effet,
5 X 18 — 3 X 4 = 90 — la = 78.
Ainsi, des valeurs positives pour x, et des valeurs négatives pour j-, ou réciproquement , donneraient encore des solutions de la question, en ce sens que le payement aurait lieu moyennant un échange de pièces de 5 francs et de pièces de 3 francs.
Troisièïie question. — Trouver un nombre cjui, étant dicisé par 39, donne le reste 16, ef divisé par 56, donne le reste 27.
Soit N le nombre cherché. Appelons d'ailleurs a: et j les quotients
l,-)0 en A PITRE IV.
entiers de N divisé successivement par 89 el par 5G. On a les d^ux équations
N -^ 09 .r ~ iG et K -- 56)- -+■ 27; ce qui donne
SgjT- 16 oGj-r-27,
ou, réduisant,
(i) Sg-r — 56j = ii.
La question est donc ramenée à résoudre cette équation en nombres entiers.
On en déduit
ou bien encore
^22 V — IIi II fî-)'— l''
(On prend ici le quotient par excès, parce qu'on s'aperçoit que le facteur II peut être mis en évidence dans le numérateur de la fraction.)
Comme, dans l'expression — —i -; le facteur 1 1 est premier avec Sg,
jg
pour que cette expression soit im nombre entier, il faut et il suffit que
27 — I soit divisible par 3g.
2 1' — I Posons donc -^tt— = t, il en résulte
et, par conséquent,
X = ir — Il /.
L'équation (2) donne
Posant — '- — = t', on obtient léquation
t = Q.t'—i, et y-'iQf — i', d'oîi .r=39f'— 19.
En reportant celte valeur de r et celle de t dans l'expression de x, on trouverait
Mais cette substitution est inutile; car puisque N est l'inconnue princi-
PROPRIÉTÉS DES VALEURS DE X ET DE y, ETC. I9I
pale du problème {x etj?' ne sont ici que des inconnues anxilioircs). et que l'on a N= 56j'-t- 27, il suffit de remplacer, dans cette équation, y par sa valeur ; ce qui donne
N — 56 (Sgf'— 19) -- 27, ou, en réduisant, N = 2184^'— lo?,;-.
Ou reconnaît, à l'inspection de cette formule, que /' peut avoir une valeur positive quelconque, mais ne saurait être négatif, si l'on veut que N soit positif.
Soit ^'= i; il en résulte
Ce nombre 11 47 est le plus petit de tous les nombres entiers positifs susceptibles de satisfaire à l'énoncé.
Observons d'ailleurs que, du moment où l'on a reconnu que 1147 satisfait à l'énoncé, on est certain que toutes les autres valeurs de N correspondant à ?'= 2, 3, 4)--- y satisfont également. En effet, dans la formule N = 2184/'— 1087, le nombre 2184 étant é^al à Sg x 56, les hj'pothèses t' = 2, 3, 4,- ■ • donneront pour N des multiples de 2184, ou de 39 et de 56, augmentés de 1147; d'où il suit que ces valeurs de N, divisées respectivement par So et 56, doiver.t donner les mêmes restes que ii47-
N. B. — Les artifices de calcul auxquels nous avons eu recours dans la résolution des questions précédentes abrègent beaucoup la détermination des valeurs de x et de ^•; mais ils supposent dj l'habitude : c'est pourquoi nous ne saurions trop en recommander l'usage.
128. Si Ion compare les formules propres à donner tous les S3^stèmes de valeurs de x et de j, dans les diverses questions que nous avons traitées jusqu'à présent, aux équations de ces problèmes, on peut facilement reconnaître qu'elles jouissent de cette propriété commune : Les coeffcients de V indéterminée qui entrent dans ces formules sont réciproquement les mêmes (au signe près pour l'un des deux) que les coefficients dont les inconnues x et y sont affectées dans l'équation proposée; c'eslà-dire que, dans la valeur de x, le coefficient de l'indéterminée est égai au coefficient dont y est affecté dans Véquation, et dans la valeur de y le coefficient de l'indéterminée est égal au coefficient de x dans Véquation, pris en signe contraire; ou réciproquement (quant aux signes des deux coefficients).
Pour donner de cette propriété une démonstration tout à fait indépendante de la méthode qu'on a suivie, reprenons l'équation générale
(i) ax~ by ^c^
1Q2 CDAPITRE IV.
et supposons que, par un moyen quelconque, on ait trouvé
pour une première solution en nombres entiers (positifs ou négatif»); je dis que toutes les autres solutions =ont comprises dans les deux formules
j-—^-r-at, x—'ji. — bt, ou bien y—Z — at, x—'^-\-ht.
t désignant un nombre entier tout à fait arbitraire.
En effet, puisque a et 6 forment un premier système de valeurs de x et de j, en nombres entiers, en a l'égalité
Retranchant celte égalité, membre à membre, de l'équation (i), ce qui revient à mettre pour c sa valeur «a -r- ^>o = c, on obtient
(3) «(jc- a) +i(/ — «) = o,
équation qui peut remplacer identiquement la proposée (*). Or l'équation (3) revient à celle-ci
biY-Z)
et pour que la valeur de x correspondant à une valeur entière de y soit elle-même entière, il faut et il suffit que b[x—t) soit divisible par a; mais on sait (122) que les coefficients a et b sont premiers entre eux (autrement l'équation ne serait pas résoluble en nombres entiers) ; donc, en vertu du principe établi en Arithmétique (128), il faut et il suffit que y — Z soit un multiple de a.
Posons donc^ — o = at, il en résulte
X — yi = — bt\ et de ces deux équations on déduit évidemment j = 6 -i- <7/, X — %— bt.
Comme le signe de t est tout à fait indéterminé, on peut changer / en — t dans ces formules, ce qui donne encore
y—t — at, x= x^bt.
(*) Kous entendons ici, par le mot identiquement, que tout système de valeurs de X et de ^ susceptible de vérifier l'équation (3) doit aussi vérifier l'équation (i), et réciproquement; ce qui est évident, puisque la transformation précédente revient à remplacer c par sa valeur aa-i- *6.
ANALYSE INDÉTERMINÉE. SECONDE MÉTHODE. IqS
n est aisé de vérifier que, quelle que soit la valeur de /, en nombres entiers, les valeurs Y—^-^at^x=x — bt satisfont à la proposée. En effet, si on les substitue dans cette équation, on trouve
a[7. — bt] -\- b[o -^ at)~ c^ ou réduisant, aa 4- Z»? = r,
égaillé vérifiée, puisque a et 6 forment, par hypothèse, une solution do la proposée.
