Autre méthode pour résoudre l'équation

ax -I- by = c.

D'après ce qui a été démontré (129), toute la difficulté, pour résoudre complètement cette équation, consiste à trouver une première solution, puisqu'on obtient ensuite toutes les autres au moyen des formules

jr = ê -f- fi/, X = a. ~ bt.

Or on peut toujours obtenir une première solution en s'appuyant sur les propriétés élémentaires des fractions continues. En effet, supposons d'abord que l'équation soit

(i) ax — by=c,

a ei b étant deux nombres absolus, mais c pouvant être positif ou négatif. Convertissons en fraction continue la fraction yj^qui doit être irréductible (122), et formons les réduites consécutives.

Jlg. B. i3

ig^ CnAPITRE IV.

La dernière sera -r; cl si 1 on nomn.c — ; 1 avant-dcrnierc, on aura, d ab m

près les propriétés connues, la relation

rt X m' — />< X /» = — I ;

savoir : -f- 1 si la réduite ^ est de rang pair, et — i si cette réduite esl

de rang impair.

Admettons, pour un instant, qu'elle soit de rang pair, il on résultel'égalité vérifiée

a >i m' — b X ru — -!- 1.

Multiplions ses deux membres par c, il vient

a X m'c — b X me = c,

résultat qui ne diffère de l'équation ax ~ by — c qu'en ce que x et y sont remplacés par m'c et mc\ donc x ~ m'c, y= me forment une solution de léquation.

Si la réduite -j est de rang impair, on a

d'où, multipliant par — c,

a X [ — m'c) — b X [ — me) — c.

Comparant cette égalité vérifiée avec l'équation ax — by~ c, on en conclut

X ^ — /;/V, y — — mCy

pour solution.

Si l'équation est de la forme ax-^by—c, c'est-à-dire si les deux coefficients a et b sont de même signe, on peut la modifler et l'écrire ainsi

ax — ^ X ( — ^-) = c.

Dès lors, en formant, comme ci-dessus, l'égalité

a >c m' C — b X me = c, ou bien celle-ci

a X [— m'c) — b X { — me) = c,

n pourra conclure que

X = m'c, y = — me, ou x = — m'a. y = me

forment une solution de l'équation.

ANALYSE 1NDÉTER:^II^■ÉE. SECONDE ÎIÉTHODE. IQS

Ainsi, quelle que soit l'équation proposée, on peut toujours, au moyen des fractions continues, obtenir une première solution de cette équation; et les formules y—^ + at, x — x— bt donnent ensuite toutes les autres.