Appliquons cette méthode à l'équation suivante

29X - lyr -- 260.

La fraction -^1 convertie en fraction continue, donne, pour les réduites

consécutives,

D'oii résulte Vénalité vérifiée

29 xy — 17X i2= — I.

Ici la réduite -^ est de rans impair.

Multiplions les deux membres de cette égalité par — 25o, il vient

29 X ( — 1750) — 17 X 1^— 3ooo) = 25o;

mais la proposée peut être écrite ainsi

d'oîi l'on voit que

X = — 1750, y — 3ooo

forment une solution.

Les formules deviennent alors

j'= 3ooo -+- 29?, ^ = — 1760 — 17^.

Si l'on ne veut tenir compte que des solutions en nombres entiers et positifs, il faut supposer t négatif : ainsi, changeant le signe de ^, on a

j) = 3ooo — 29/, ^ = — 1750 -i- 17^;

et il est évident que les valeurs de x et de y ne seront positives qu'autant que l'on aura

„ , 1760 , 3ooo

i7i>i75o, 20? < 3ooo, d ou ?> 5 ?<■ 5

ou, effectuant les divisions,

<> 102 — 1 mais < io3 — = 1 7 29

Donc / -— io3 est la seule valeur de l'indéterminée qui rende x et y positifs.

Pour < = io3, on trouve

valeurs qui, substituées dans l'équation, donnent

On voit avec tiuelle précision la méthode précédente donne toutes les solutions de l'équation.

132. Dans quelques circonstances, on peut obtenir la première solution

sans être obligé de convertir y en fraction continue.

1° Si l'un des deux coefficients a et b est un sous-multiple exact de la quantité toute connue c, l'équation donne sur-le-champ cette solution. Soit, par exemple, l'équation

le coefficient 3 divise 78, et donne pour quotient 26.

Donc, si l'on pose x — o et ^- = 26, l'équation est satisfaite; car elle devient

Les autres solutions se trouvent d'après les formules '

X^=Zt, J'=:26 — 5^.

Soit encore l'équation

\ix -+- 35j)- = i56.

Comme i56 est divisible par 12 et donne i3 pour quotient, il s'ensuit que J= 0, a:= i3 forment une première solution; et l'on a, pour les formules relatives à l'équation proposi-'e,

X = iZ — 35/, y=iit.

2° Toutes les fois qu'à l'inspection de l'équation on reconnaît que la somme ou la différence des coefficients a et b, multipliés respectivement par deux nombres entiers convenables, donne un sous-multiple du second membre, la première solution s'obtient encore sur-le-champ.

Soit, par exemple, l'équation