A la seule inspection des signes de l'équation

ax -+- by = c,

on reconnaît si le nombre des solutions en nombres entiers et positifs est limité ou infini.

1° Lorsque b est positif (« peut toujours être supposé tel), le nombre des solutions est limité.

En effet, de la proposée on déduit

Or, si c est négatif, quelque valeur positive que l'on donne à /, la valeur de X correspondante sera négative; ainsi, dans ce cas, l'équation n'admet aucune solution.

Si c est positif, on ne peut donner à j des valeurs positives plus grandes

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que j : autrement x serait négatif; d'ailleurs, à la plus grande valeur à&jr

correspond la plus petite pour jr, et réciproquement; donc, etc.

2° Lorsque b est négatif, quel que soit le signe de r, le nombre des solutions est illimité.

En effet, les formules x ~ 'x — bt^j =^ — at deviennent, le signe b étant rais en évidence,