ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES A PLUS DE DEUX INCONNUES. IQQ

§ II. — Des équations et problèmes indéterminés a trois

OU UN PLUS GRAND NOMBRE d'iNCONNUES.

dSo. Considérons d'abord le cas de deux équations a trois 'inconnue.;. Soit, pour premier exemple, le système des deux équations

(i) Sx~^y^ z = '272,

dans l'une desquelles l'inconnue z est affectée d'un coefficient égal à l'unité. Commençons par éliminer z.

A cet effet, multiplions la première équation par 3, et retranchons la seconde du résultat; il vient

équation qui peut remplacer l'équation (2).

Appliquant à l'équation (3) la première méthode, on trouve les deux

formules

Reportons ces deux expressions de j: et do je dans la première équation, on obtient

OU réduisant,

Les trois inconnues se trouvent acluellement exprimées en fonction entière de l'indéterminée t. Ainsi, en donnant à t des valeurs entières quelconques, on en obtiendra de semblables pour jc, jr, z, et ces valeurs satisferont aux deux équations proposées ; car, d'après ce qui vient d'être dit, le système des trois formules équivaut aux deux équations.

Si l'on demande des valeurs entières et positives pour x, j, z, il est

évident que t ne peut être positif, car x serait négatif; mais on peutsup-

poser /■ - o, — i , — 2; ... , jusqu'à t~ — — ou— 7-, c'est-à-dire — 7,

puisque t doit être entier.

Faisant donc

on trouve

z — G3, 7G, 89," io'2, ii5, l'jiS, i4i, i54;

d'où l'on voit que le problème est susceptible de huit solutions diJérenles.

Soient, pour nouvel exemple, les équations

(i) 6j:-i- 7jH-4z= 122,

(2) II JTH- 8r— 6z = 145.

Pour éliminer z entre ces deux équations, multiplions la première par 3 et la seconde par 2, puis ajoutons les résultats membre à membre; il vi.'nl

équation pour laquelle on trouve, d'après la première méthode, j:= 37^-1-9, j>'=8 — 40/.

Reportant ces valeurs dans l'équation (i), on obtient

OU réduisant,

iz — i()t = G.

Ici l'inconnue z n'est pas, comme les deux autres, x et y, exprimée en fonction entière de l'ind.'terminée t. Ainsi, il faut encore appliquer à l'équation (â) Tune des deux méthodes connues.

On a, d'après la première remarque du n" 132, pour les formules relatives à cette équation,

t = it', z = '29f'-T- 3.

Comme, d'ailleurs, toute valeur entière de /, substituée dans les expressions de X et de j, en donnera de semblables pour ces inconnues, il s'ensuit que, si l'on y met 2?' à la place de f, on obtiendra les trois formules

^=74;'-t-9, •)-=8 — Soi', -; = 29i'-i-3,

qui comprendront tous les systèmes de valeurs entières de x, y, z, propres à vérifier les équations proposées.

Si l'on ne veut que des solutions directes, il est visible que t' ne peut être positif, puisque alors j- serait négatif; et t' ne peut être négatif, puisqu3 z et x seraient négatifs.

Mais l'h^-pothèse t'— o donne

•^ = 9^ v=8, z=3; donc ce système est le seul qui satisfasse eux deux équations. 136. En résumant la marche précédente, on en conclut cette régie gé-

ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES A PLUS DE DEUX INCONNUES. 20t

nérale : — i° Éliminez l'une des inconnues entre les équations proposées, et cherchez pour l'équation résultant de cette élimination les formules qui donnent les deu-x inconnues qui y entrent, en fonction entière d 'une indéterminée t. — 2° Substituez ces expressions dans l\ine des équnnons proposées, ce qui donne une nouvelle équation ne renfermant plus que t et llnconnue que Von avait d'ahnrd éliminée. — 3° Déterminez, pour celte équation, les deux fornmles qui donnent les expressions des deux inconnues qui y entrent en fonction entière d'une seconde indéterminée t'. — 4" Substituez enfin l'expression de t drms celles des deux premières inconnues.

Les valeurs des trois inconnues se trouvent ainsi exprimées en fonction entière de ; ' ; et il ne s'agit plus, après cela, que de déterminer pour t ' les limites entre lesquelles ces valeurs doivent se trouver pour que celles des inconnues principales soient entières et positives.

N. B. — Toutes les fois que l'une des inconnues a pour coefficient l'unité dans l'une des équations, il est plus simple d'éliminer cette inconnue, parce qu'après avoir exprimé les deux autres en fonction entière d'une même indéterminée, si l'on reporte ces valeurs dans l'équation où la troisième inconnue est affectée d'un coefficient égal à l'unité, on obtient immédiatement cette troisième inconnue en fonction entière de la même indéterminée; ainsi, dans ce cas, une seule opération est suffisante. Les deux c'quations du n° 133 en ont oîfert un exemple.

137. Voici la marche qu'il faut survre pour trois équations à quatre inconnues : Jprés avoir éliminé l'une des inconnues, on exprime, a l'aide des deux équations résultantes, et cV après ce qui vient d'être dit, les trois autres inconnues en fonction entière d'une même indéterminée; et l'on substitue ces valeurs dans l'une des équations proposées. Si, dans la nouvelle équation, les coefficients des deux inconnues qui y entrent sont différents de l'unité, on établit deux formules cpn donnent ces inconnues en fonction entière d'une seconde indéterminée ; puis on remplace^ dans les expressions des trois premières inconnues, la valeur de la première indéterminée en fonction de la seconde, et l'on obtient ainsi les quatre inconnues primitives en FONCTION entière de la seconde indéterminée.

iiêrae raisonnement pour quatre équations à cinq inconnues, etc.

138. Nous proposerons, pour exercice, les questions suivantes : Première question. — Un mnnnnyeur a trois sortes d'argent. Sur 1 kilogramme, la première contient ~ d argent, la seconde -— et la troisième -^•

Il veut faire un alliage de 3o kilogrammes pesant qui, sur i kilogramme,

202 CnAPlTIlE IV.

contienne -• iVc^rgcnl. Combien (en nombres enliers) doit-il pi-cndrc ih

kii')gr(nnines de cluique sorte ?

lu-ponse,

a - \o, i'2, 14, lO, 18; )■ = 20, i5, m, 5, o; 2 = 0, 3, (3.

c'est-à-dire cinq solutions, en admettant o pour valeurs de y et do z.

Deuxième question. — Trouver trois nombres entiers tels que la somme de leurs prodidls respectifs par les nombres 3, 5, 7, soit égale à 56o, et que la somme de leurs jiroduits^ par les carrés 9, 25, 49- soit éga//j a 2920.

Réponse.

x = ib^ 5o ; ;-=82, ^o\ z-.-ib, 3o;

c'est-à-dire deux solutions.

Troisième question. — Trouver un nombre entier N qui, étant divisé par II. donne le reste 3 ; divisé par 19, donne le reste 3 ; et divisé par 29, donne le reste 10.

Réponse.

K ■-- 4128 T-GoGi /,

/ étant entier; en sorte que 41^8 t'st le plus petit nom'ore entier absolu qui satisfait à l'énoncé.

QuATRiÈsiE QUESTION. — Trouver pour x un nombre tel que les cxpres-

3r— To iT.r-;-8 16, r — 1 .

sio?is ) •) soient des nombres entiers.

Réponse.

139. Remarque importante. — Si, dans la dernière question, on désigne

. , Sx— 10 iij;-f-8 i6j" — I ,

par j, z et v les quotients •; 1 - — ■> on a pour lea

('■qualions du problème