ÉQUATIONS INDÉTERMINÉES A PLUS DE DEUX INCONNUES

per un moj'en beaucoup plus simple de déterminer la valeur de x^ qui e^ ici l'inconnue principale. Ce moyen est d'ailleurs applicable à toutes Us questions du même genre.

. , , . . , , , ... . i().r — I , , D abord, si nous considérons la troisième expression j dont \z

dénominateur est le plus simple, elle revient à

ciinsi, pour qu'elle soit entière, il faut et il suffit que x — i soit un multiple de 5.

Posons donc ■ — ^ — = /; il en résulte

Toute valeur entière de ^, substituée dans cette dernière équation, donnera pour X un nombre qui satisfera à la troisième condition de l'énoncé.

Sul slituons dans la première expression ~ la valeur de x qu'on

vient d'obtenir; elle se change en

i5^ — 7 ,A-. ^ ou, réduisant, 2/ — n

On voit que celle-ci sera entière si l'on suppose t = ']i'\ d'ailleurs cette condition est nécessaire. Ainsi, pour que la première et la troisième des expressions proposées soient entières, il faut et il suffit que l'on ait

t étant de la forme t = ']t\ ce qui donne

X— - 1 -1- obt' .

Portons dans la seconde expression — ^^ — cette nouvelle valeur de a:;

il vient

385?'-i-iq ^ , a([ — 3;')

ou 23rH-i-^ ^ -•

Or a est premier avec 17 ; donc, pour que la seconde expression soit un

nombre entier, il faut et il suffit que i — 3^' soit divisible par 17.

Posant — = t\ on en tire

2o4 CHAPITRE IV.

OU, effectuant la division,

t'=—bi"^ — • •

Soit — - — = t\ on obtient

r=3r— I, d'où i'-z-6(3r— i)-t-r ou t'^-ijf'-r^^.

Reportant cette valeur dans rexpression a: = i -f- 33/', on obtient, toute réduction faite,

jc= 21 1 — 595 i'".

Telle est la formule propre à donner toutes les valeurs de x susceptibles de satisfaire à l'énoncé.

Soit t'" = o, on trouve j: = 21 1 : c'est le plus petit de tous les nombres cherchés.

En supposant à t'" des valeurs négatives quelconques, on obtiendrait les autres solutions (en nombres positifs).

iV". JS. — Nous remarquerons que SgS, coefficient de t'" dans la formule, est le produit 7x17x5 des dénominateurs des trois expressions proposées. Il serait aisé de se rendre compte de cette propriété, qui se modifie lorsque les dénominateurs ne sont pas les premiers entre eux; car, dcms ce cas, le coefficient est égal au multiple le plus simple des dénominateurs.

140. Il nous reste encore à parler des problèmes dits />/«^ qu'imléterminés, c'est-à-dire de ceux pour lesquels le nombre des équations est moindre de deux ou de plusieurs unités que le nombre des inconnues.

Soit d'abord l'équation à trois inconnues ax -+- br-i-cz = d. Si l'on fait passer le terme cz dans le second membre, il vient n

ax -\-hy= d — cz ou ax -t-by= c'

[c' désignant la quantité d—cz., qu'on regarde pour le moment comme connue).

Cela posé, Ion établit pour Véquntion ax-rby ^ r', les deux formules

X = a. — bt^i y=o-i-at.

Apres quoi Y on remplace, dans a. et 6, c' par sa valeur d — cz; alors a: etj)' se trouvent exprimés en fonction entièr-e de l'indéterminée /, et de la troisième inconnue z.

Soit proposé, par exemple, de payer 1S7 francs avec des pièces de 5 francs, 6 francs et 20 francs, sans aucune autre monnaie.

Désignons par x^ y, z les trois nombres de pièces qu'il faut donner de

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chaque sorte; on a l'équation