FORMATION DES PUISSANCES
FORaiATION DES PUISSANCES ET EXTRACTION DES RACINES D'UN DEGRÉ QUELCONQUE.
Introduction. — De même que la résolution des équations du second degré suppose connus les procédés de l'extraction de la racine carrée, de même la résolution des équations du troisième, du quatrième, etc., degré, exige qu'on sache extraire la racine troisième, quatrième, etc., d'une quantité, soit numérique, soit algébrique. {Foir le n° 2 pour la définition des mois puissance et racine.)
L'élévation aux puissances, l'extraction des racines de degré quelconque et le calcul des radicaux feront l'objet principal de ce nouveau Chapitre, qui, avec le premier et une partie du troisième, constitue l'ensemble des opérations que l'on peut avoir à effectuer sur des nombres exprimés algébriquement
Quoiqu'une puissance quelconque d'un nombre puisse s'obtenir d'après les règles de la multiplication, soit arithmétique, soit algébrique, cependant la formation de cette puissance est assujettie à une loi qu'il faut connaître lorsqu'on veut revenir de la puissance à la racine. Or, comme la loi de composition du carré d'une quantité numérique ou algébrique est fondée (80) sur l'expression du carré d'un binôme, de même la loi relative à une puissance de degré quelconque se déduit de l'expression d'une puissance de même degré d'un binôme. C'est donc par la détermination du développement d'une puissance quelconque d'un binôme que nous devons commencer cette nouvelle théorie.
§ I. — RiNÔME DE Newton et conséquences qui en dérivent.
143. Introduction. — Si l'on fait le produit de plusieurs binômes égaux à .r -H (7, on parvient aux résultats suivants :
aY
"zax ~h a-,
3 «a;" -7- Sa^x H- «', [x -+- a)* — -r* -r- ^ax^-h 6a^x^ -+- li,a^ x -i- a\ [x -^r- ci)^ = x^ -^ bax^ -^\oa^ x^ ->riod' x"^ -^ 5a' .r + a^.
Alg. D. l4
En jetant les yeux sur ces dilTérents développements, on reconnaît aisément une loi suivant laquelle ils procèdent, quant aux exposants de x et de «; mais il n'en est pas de même pour les coefficients. Cependant Newton est parvenu à en découvrir une au moyen de laquelle, le degré d'une puissance d'un binôme étant donné, on peut former cette puissance sans être obligé de passer d'abord par toutes tes puissances inférieures. Il n'a laissé aucune trace des raisonnements qui avai:nt pu l'y conduire; mais depuis on a constaté d'une manière rigoureuse l'existence de cette loi. De toutes les démonstrations connues, la plus élémentaire est celle qui se trouve fondée sur la Théorie des combinaisons. Toutefois, comme cette démonstration est encore assez compliquée, nous commencerons, pour en simplifier l'exposition, par résoudre quelques problèmes relatifs aux combinaisons; d'où il sera facile ensuite de déduire le développement d'une puissance quelconque d'un binôme, ou, en d'autres termes, la formule du binôme.
