X -t- abc

' -+- abc X -h abcd -t- abd -f- acd -+- hcd

Ces multiplications étant effectuées d'après les règles ordinaires de la multiplication algébrique, on reconnaît sur les trois produits qui précèdent la loi suivante :

1° Par rapport aux exposants, l'exposant de x est d'abord égal au nombre des binômes multipliés. Cet exposant diminue ensuite d'une unité d'un terme au suivant, jusqu'au dernier terme, où il est égal à zéro.

2° Par rapport aux coefficients des diverses puissances de .r, le coefficient du premier terme est l'unité ; le coefficient du second terme est égal à la somme des seconds termes des binômes ; le coefficient du troisième terme est égal à la somme des produits différents de ces mêmes seconds termes, multipliés deux à deux; le coefficient du quatrième terme est égal à la somme des produits différents trois à trois. En nous laissant conduire par \ analogie, nous pouvons dire que le coefficient d'un terme qui en a n avant lui est égal à la somme des produits différents n à /z des seconds termes des binômes. Enfin, le dernier terme est égal au produit des seconds termes des binômes.

Pour nous assurer si cette loi de composition est générale, supposons qu'elle soit déjà reconnue vraie pour le produit d'un nombre m de binômes, et voj^ons si elle a encore lieu quand on introduit un nouveau facteur dans le produit.