BINOME DE NEWTON

Soit donc

cr'"-f- Aj;'"-' -+- B-r""-^-)- C^"

Naf-"-

le produit des m facteurs binômes [Naf"~" représentant un terme qui en a /? avant lui, et Mjr™-"+' celui qui le précède immédiatement).

Soit d'ailleurs .r -i- / le nouveau facteur introduit; on a pour le produit ordonné

af^

Déjà la loi des exposants est évidemment la même.

Quant aux coefficients : i" celui du premier terme est \ unité ;

1° A -h l, ou le coefficient de x"', est aussi la somme des seconds termes des {m -hj) binômes;

3° B est, par hypothèse, égal à la somme des produits différents 2 à 2 des seconds termes des m premiers binômes; A/ exprime la somme des produits de chacun des seconds termes des m premiers binômes, multiplié par le nouveau second terme /; donc, B + A/ est encore la somme des produits différents deux à deux des seconds termes des [m -h\) binômes. . . .

Et, en général, puisque N exprime la somme des produits n k n des seconds termes des m premiers binômes, et que Ml représente la somme des produits {n — i) à {« — i) de ces seconds termes multipliés par le nouveau second terme /, il s'ensuit que N -1- M/, ou le coefficient qui, dans le polyTiôrae de degré (/« + 1), en a « avant lui, est égal à la somme des produits différents n h n des seconds termes des (m-f-i) binômes. Le dernier terme U/ est d'ailleurs égal au produit des ( '" +1) seconds termes.

Ainsi la loi de composition, supposée vraie pour le produit d'un nombre m de binômes, l'est aussi pour un nombre [m -h i); donc elle est générale.

Concevons actuellement que, dans le produit effectué de m facteurs binômes X -\- a^ X -h b, X -h c, JT -4- r/, . . . , on fasse a = b = c = d, . . .; l'expression de ce produit {x-ha) {x -^ b) [x-hc). .. se change en (x-i-o)'".

Quant à son développement, les coefficients étant

ab

ad

abc -H abd -+- acd ■

i" le coefficient de af~^ devient

^l8 CUAPITRE V.

c'est-à-dire n pris autant de fois qu'il y a de lettres <7, Z», r, . . . , et se réduit, par conséquent, à ma.

2° Le coefficient de x"""' se réduit à «'-f- a' -t- «'..., ou bien à autani, de fois a^ que l'on peut former de combinaisons différentes avec m lettres multipliées 2 à 2, ou bien enfin (147) à

3° Le coefficient de .r"""' se réduit au produit de a^ multiplié par le nombre de combinaisons différentes de m lettres prises 3 à 3, ou bien à

En général, si l'on désigne par Na:"^" le terme qui en a un nombre // avant lui, le coefficient N qui, dans l'hypothèse où les seconds termes des binômes sont différents, est égal à la somme de leurs produits « à /?, se réduit, lorsqu'on les suppose tous égaux, à a" multiplié par le nombre des combinaisons différentes que peuvent donner m lettres prises n h n.

Ainsi (147)

Donc, enfin, on a la formule

149. Pour peu que l'on jette les j'eux sur les différents termes de ce développement, on reconnaît une loi simple d'après laquelle un coefficient de rang quelconque se forme au moyen du coefficient précédent.

Le coefficient d'un ternie de rang quelconque se forme en multipliant le coeffiicient du ternie précédent par l'exposant de x dans ce ternie, et divisant le produit par le nombre des termes qui précèdent celui que Von considère.

En effet, prenons le terme général "~' ^^^—^{fx^-" (on Tap-

pelle terme général parce qu'en faisant successivement /? = 2, 3, 4j-" on peut en déduire tous les autres). Le terme qui le procède d'un ran^r