CONSÉQUENCES DE LA FOUMULE DU BINOME

est évidemment Tp2^«"-'a:'"~"+', car —^ exprime le nombre des combi-

naisons ;z — i a (« — 1 1. Or on voit nue le coemcient ' ' ,^ ■ — —

est égal au coefficient -=— qui le précède, multiplié par (/;? — /i -h i), ex-

posant de o dans ce terme, et divisé par n, nombre des termes ([ui précèdent celui que l'on considère. C'est dans cette loi, due à Newton, que consisîe principalement la formule du binôme. Elle sert à développer une puissance particulière, sans qu'on soit obligé d'avoir recours à la formule générale.

Soit, par exemple, proposé de développer [x -î- af. On trouvera, d'après cette loi,

[x -h a'f = x'^ -h 6ax^-T- l5<•/^r' -t- •i.oa^x^-+- i5a\v^-i- 6câx -\~ a^.

Après avoir formé les deux premiers termes, ce qui n'offre aucune difficulté, d'après les termes de la formule générale a^-h max"'"^ -t- . . . , on multiplie 6, coefficient du second terme, par 5, exposant de x dans ce terme, puis on divise le produit par 2, ce qui donne i5 pour coefficient du troisième terme. Pour obtenir celui du quatrième, on multiplie i5 par 4, exposant de x dans le troisième terme, et l'on divise le produit par 3, nombre des termes qui précèdent le quatrième, ce qui donne 20 ; et ainsi de suite pour tous les autres termes.

On trouverait pareillement

(x -(-rt)'"— x^^-i- io«j:'h- ^^fâx^-i- I20rt'.r'+ 2io«*.r'^

-T- '252a^x^-T- ■xiofc'^x^ -T- 1 20 a'' x^ -r- ^5 (i^ x^ -i- locv'x -f a'".

Nous reviendrons plus loin sur la manière de développer les puissances des expressions algébriques.

CONSÉQUENCES DE LA FORMULE DU BINÔME ET DE LA THEORIE DES COMBINAISONS.

150. Première conséquence, — L'expression {x -h a)"' étant composée de la même manière en a et en x, il doit en être ainsi pour son développement; donc, si ce développement renferme un terme de la forme Kcfx'"'", il en a nécessairement un autre égal à Kx"(t"'-" ou Ka"'-'"x". Ces deux termes y sont évidemment à égale distance des deux extrêmes, car le nombre des termes qui précèdent un terme quelconque étant marqué par l'exposant de a dans ce terme, il s'ensuit que le terme Ka"x-"'-" en a n avant lui, et que le terme Ka"'~"x" en a m — n avant lui, par conséquent n après lui (puisque le nombre total des termes est m -hi).

220 COAPITRE V.

Ainsi, dans le dcvclnppemcnt de toute puissance d'un binôme, les coefficit nts des termes également distants des deux extrêmes sont égaux entre eux.

N. B. — Dans les termes Krt"a:"""", K«"'-''.r", les deux coefficients expriment les nombres de combinaisons différenles n à n et {m — //) à [m — n\ que l'on peut former avec m quantités; ainsi on peut encore conclure que le nombre des combinaisons différentes de m quantités nà n est égal au n mibre de combinaisons m — n à m — n de ces mêmes quantités.

Par exemple, douze quantités combinées 5 à 5 donnent le même nombre de combinaisons que ces douze Quantités combinées {12 — 5) à (la — 5), ou 7 à 7.

Cinq quantités, combinées 2 à 2, donnent le même nombre que cinq quantités combinées (5 — ■2)à(5 — 2), ou3à3.