EXTRACTION DES RACINES DES NOMBRES ENTIERS

être, par sa nature, un nombre entier; donc l'expression ci-dessus est nécessairement un nombre entier.

Nous engageons les élèves à rechercher, de cette propriété, une démonstration indépendante de la Théorie des combinaisons ou de la formule du binôme, en les prévenant toutefois que la question, assez facile à traiter pour les premières expressions

offre plus de difficulté dans le cas général. '

§ II. — Extraction des racines des nombres particuliers.

Les procédés particuliers de l'extraction de la racine carrée et d3 la racine cubique d'un nombre ayant été exposés avec détail dans notre Arithmétique, nous nous contenterons de développer ici le procédé de l'extraction des racines en général, procédé qu'il sera ensuite facile d'appliquer aux cas particuliers de l'extraction de la racine 4*", 5*,

Io3. Procédé de la racine «"""" d'un nombre entier (*).

Désignons par N un nombre entier quelconque, et par n le degré de la racine qu'on veut en extraire.

D'abord, comme la n^'""' puissance de lo, ou lo", est exprimée par l'unité suivie de n zéros et représente le plus petit nombre de /? -f- 1 chiffres, il s'ensuit que, si N n'a pas plus de n chiffres, sa racine n'a qu'w^i seul chiffre; et pour l'obtenir, il suffit de former les rf'"'" puissances des dix premiers nombres i , 2, 3, . . . , 9, 10 ; le plus petit des deux nombres dont les «''"'" puissances comprendront N sera la racine demandée.

Mais lorsque N est composé de plus de n chiffres, sa racine a plus d'un chiffre et peut alors être regardée comme ne renfermant que des dizaines et des unités. Or, en représentant par a les dizaines et par h les unités, on a (118)

N= [a -^ hY =^ ar -\- nd'-' b ^ n^^-^ cC'-^h'' -'n . . .

c'est-à-dire que le nombre proposé contient la n'""^ puissance des dizaines, plus nfois le produit de la [n — i)"""" puissance des dizaines par les unités, plus une suite d'autres parties qu'il est inutile d'énumérer. Cela posé, la «'""'"* puissance des dizaines ne pouvant donner d'unités

(*) Pour bien comprendre ce procédé, il faut s'être déjà rendu compte des procédés d'extraction de la racine carrée et de la racine cubique.

d'un ordre inférieur à l'unité suivie do n zéros, les n derniers cliirTrc- à droite n'en peuvent faire partie; il faut donc les séparer, et extraire la racine de la plus grande n"'"" puissance contenue dans la partie à gauche : cette racine exprime les dizninex de la racine cherchée (* i.

Si cette partie à gauche renfermait encore plus de n chiffres, on serait conduit à en séparer les n derniers chiffres à droite, et à extraire la racine de la plus grande n'""" puissance contenue dans la nouvelle partie à gaucho: et ainsi de suite.

Règle générale. — Jprès avoir partagé ainsi le nombre N en tranches de n chiffres (la tranche le plus à gauche pouvant cependant avoir moins de n chiffres), on cr trait la racine de la plus grande n""" puissance contenue dans cette première tranche à gauche, ce qui donne le chiffre des unités de l'ordre le plus élevé de la racine totale, ou le diiffre des dizaines de la racine du nombre formé par les deux premières tranches à gauche. Retranchant la n""" puissance de ce chiffre de la première tranche à gauche, on obtient un reste qui, suivi de la seconde tranche, contient encore n fois le produit de la [n — i)''™' puissance du chiffre trouvé (lequel est censé exprimer les dizaines) par le chiffre suivant, plus une suite d'autres produits. Jîais ce premier produit ne peut évidemment donner d'unités d'un ordre inférieur à lo""' ; ainsi les [n — i) derniers chiffres de la seconde tranche n'en sauraient faire partie. Il suffit ^onç, à.' abaisser a côté du reste correspondant à la premièi-e tranche le premier chiffre de la seconde; et si, après avoir formé n fois la [n — i ]'""« puissance du premier chiffre de la racine, on divise par ce résultat le reste suivi du premier chiffre de la seconde tranche, le quotient exprimera le second chiffre de la racine, ou un nombre plus grand. Pour éprouver ce chiffre, on récrira à la droite du premier, puis on élèvera l'ensemble de ces deux chiffres à la n'^"" puissance, et Von retranchera, si cela est possible, la puissance obtenue de l'ensemble des deux premières tranches (**), ce qui donnera un nouveau reste à côté duquel on abaissera le premier chiffre de la troisième tranche; puis on divisera le nombre ainsi formé par n fois la [n — i)"^"'" puissance de l'ensemble des deux chiffres déjà trouvés à la racine, ce qui donnera le troisième chiffre de la racine.

On continuera cette série d'opérations jusqu'à ce qu'on ait abaissé toutes les tranches.

(*) Foir la démonstration de ce principe, pour la racine carrée et la racine , cubique {Jrilhm., n"* 178, 191, 2if cdilion); vous généraliserez ensuite.

(**) Nous n'avons pas besoin de dire que, si la soustraction ne peut se l'aire, c'est que le second chifTre trouvé à la racine est trop fort; et alors on le diminue d'une ou de plusieurs unités, jusqu'à ce que la soustraction puisse s'effectuer