EXTRACTION DKS RACINES DES NOMBRES ENTIERS

\oi. Soit proposé, pour exemple, cV extraire la racine cinquième de 550-31776

Après avoir séparé les cinq derniers chiffres à droite du nombre proposé, on reconnaît que (5)% ou 3i'25, et (6)^, ou 7776, comprennent 55o7; donc 5 exprime les dizaines de la racine cherchée.

Retranchant 3x25 de 55o7, on obtient le nombre 2382 pour reste, à côté duquel on abaisse !e chiffre 3 de la première tranche à droite, ce qui donne 23823, nombre que l'on divise par 5 fois la 4^ puissance de 5, ou par 3i25. Le quotient est 7 ; mais, en élevant 57 à la 5* puissance, on obtient 601692057, nombre plus fort que le nombre proposé. Essayant 56, on trouve

ainsi, 56 est la racine demandée.

On obtiendrait pareillement

y' 2090455 = 18, avec le reste 200887;

V' 111679136x8807 = 407 exactement;

V^ 9493x8771 33 = 37 exactement.

■IKo. Remarque. — Toutes les fois que le degré de la racine à extraire est un nombre multiple de deux ou de plusieurs autres, comme 4j 6, . . ., la racine peut s'obtenir par une série d'extractions de racines de degrés plus simples.

Pour nous rendre compte de ces modifications, observons que

[a^Y = câ X a^ >< a' x «^ = «3+3+3+3 ^ ^3x* ^ «12^

et qu'en général

[r."'Y = a"' X a'" X rt'" X «'" X . . . = rt"'x" (n° 16).

Donc la if"'"^ puissance de la m'"'"' puissance d'un nombre est égale à \ la nin'""" puissance de ce nombre.

Réciproquement, la racine mn"^"" d'un nombre est égale à la racine n"-'"" de la i-acine m"'"" de ce nombre, ou, algébriquement, je dis que l'on a

224 CQAPITRIJ V.

En effet, soit

élevons les deux membres à la «'"''"' puissance, il vient

7â = a'", car, d'après la définition d'une racine, on a

Élevant de nouveau les deux membres à la m^^' puissance, on obtient

d'où, extrayant la racine mn''^"" des deux membres,

^a = a ; mais on a déjà

y' ^a — a \ donc ^a = \j y/a. ^

N. B. — Comme (a"')" et (r/")"" donnent également a"™, on peut en conclure que

Sjsja = \J \Ja. ;

On trouvera, d'après ce principe.

v/i77i56i — yV'77^56i =11;

.71679616 = \/v/v/i6796i6 = \j^vi<è^ = ^ = 6.

N. B. — Quoique les racines successives puissent s'extraire dans un ordre quelconque, il est préférable d'extraire d'abord la racine du degré le plus faible, parce qu'alors l'extraction de la racine du degré le plus fort, qui est une opération plus compliquée, porte sur un nombre ayant beaucoup moins de chiffres que le nombre proposé. C'est ce que nous avons fait dans le second et le troisième des exemples ci-dessus. [Voyez d'ailleurs le premier N. B. de ce numéro.)

EXTRACTION DES RACINES DES QUAMITÉS AlGÉBRIQUES. 225 EXTRACTION DES RACINES PAR APPROXIMATION.

■156. Lorsque le nombre entier dont on demande la racine n}''"" n'est pas une puissance parfaite, le procédé du n° 1o3 ne donne que la partie entière de la racine, ou la racine à une unité près. Quant à la fraction qui doit compléter la racine, elle ne peut être obtenue exactement; car on sait [Arithmétique, nM30) que, a et b désignant les deux termes

d'une fraction irréductible ^, «"et b'^ sont aussi premiers entre eux. Ainsi ( ^ ) , ou ^, ne peut produire un nombre entier N, c'est-à-dire

que v'N ne saurait être exprimée par un nombre fractionnaire exact -•

b Mais on peut déterminer la racine avec tel degré d'approximation que Ton veut.

Soit, en général, proposé d'extraire la racine /f'"" d'un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, «, à une fraction près, -, c'est-à-dire

de manière que l'erreur commise soit moindre que -•

Observons que a peut se mettre sous la forme " ^f" • Si l'on désigne

par r la racine de ajf obtenue à une unité près, le nombre " ^^^", ou a

est alors compris entre y, et J^\ donc aussi,^« est compris entre

les racines de ces deux derniers nombres, c'est-à-dire entre - et iZllt i].

donc enfin - est la racine demandée à une fraction prè> -• P . -' p

Règle générale. — Pour extraire la racine n^""' d'un nombre quelconque ri une fraction près - , multipliez le nombre par p" ; extrayez du produit la racine n''""" à une unité près, puis divisez le résultat par p.

Nous renvoyons, pour les applications de cette règle générale, à notre Arithmétique, où noua avons exposé avec tous les détails convenables les différents modes d'approximation, tant pour la racine carrée que pour la racine cubique.

Mais il nous paraît utile de donner ici quelques développements sur la manière d'évaluer en décimales les expressions renfermant des signes radicaux qui se recouvrent, tels que y v'", 'sJa + '^Z,

Mg. B. j5

220 CDAPITRE V.

157. Soit d'abord proposé (ïcxlniirc la racine sixième de 23 à o,oi près.

En appliquant à ccl exemple la règle du n° 456, il faut multiplier 23 par (loo)' , ou (jcrire douze zéros à la droite de 23, puis extraire la racine sixième du nombre résultant à une unité près, et diviser cette racine par 100, ou séparer deux chiffres décimaux sur la droite.

Mais on a (155)

s/iZ X (loo)" = ^//aS X (loo)^

Ainsi, après avoir extrait la racine carrée de 23 x (loof à une unité près, on extraira la racine cubique du résultat ; puis on divisera le nouveau résultat i)ar loo, ou l'on séparera deux chiffres décimaux sur la droite. On obtiendra ainsi

v/23 = 1,69 à 0,01 près.

Prenons, pour second exemple, l'expression y/ 29, 437 ou \l\Ji^A'^l^ dont on demande la valeur à 0,001 près.

Comme, d'après la règle du n° 156, on doit multiplier 29.437 par (1000)', cela revient à supprimer d'abord la virgule, puis à écrire neiij zéros à la droite, ce qui donne 29437000000000.

Extrayant maintenant la racine carrée de ce résultat à une unité près, on trouve 54^5587, nombre dont il faut extraire de nouveau la racine carrée; et l'on obtient 2329.

Donc enfin

y/29,437 = 2,329 à 0,001 près.

Autrement. — Extrayons d'abord la racine carrée de 29,437 à 0,000001 près; il vient 5,425587.

Extrayant encore la racine carrée de ce résultat, on obtient

2,329; donc (/29, 437 = 2,329 à 0,001 près (*).

Soit maintenant proposé d'évaluer \ 5-1- 3 ^a à 1,01 près.

On pourrait : i" multiplier 5 -1- 3 v/â par (100)' ; 2° évaluer le produit à une unité près (91 J; 3° extraire la racine cubique du résultat à une unité près; 4° enfin diviser ce nouveau résultat par 100.

ÎMais il est plus simple d'opérer de la manière suivante :

(*) Nous avons exposé, dans les dernières éditions de noire jérithmétique, i::ie méthode plus abrégée, pour effectuer des extractions approchées de racines carrées successives. q