mande la valeur à 0,1 près

( 20 v/3 + 5 yô

Or:

1° 2ov''3, ou v^i2oo = 34,641 à 0,001 près;

2° 5v/6, ou \/ i5o = 12,247 à 0,001 près.

Ce qui donne

Donc

v'3,349 = i,G à 0,1 près.

( La valeur est ici approchée en plus. )

§ m. — Formation des puissances et extraction des racines DES quantités algébriques. — Calcul des radicaux.

Considérons d'abord les quantités monômes.

158. Soit à former la cinquième puissance de in^b''\ on a (2)

[la^b' j" — -xc^b^ X •xa^b'^yc la^b'^ x ■i.câb'^ x xa^b^-,

d'où l'on voit : 1° que le coefficient 2 doit être 5 fois facteur dans le produit, ou doit y être élevé à la 5* puissance ; 2° que chacun des exposants des lettres doit être répété cinq fois, ou multiplié par 5. Donc enfin

[la'b'i' = 2\«'^--'^»^x* =32a''b'\

2a8 CHAPITRE V.

De même

Ainsi, pour élever un monôme à une puissance d'un degré donné, // faut élever le coefficient à cette puissance, puis multiplier V exposant de chaque lettre par l'exposant de la puissance.

Donc, réciproquement, pour extraire une racine de degré quelconque d'une quantité monôme, il faut : i° extraire lu racine du coefficient; a° diviser r exposant de chaque lettre par l'indice de la racine.

Ainsi

y^^cFW? = ^aHc\ *^/ H3a''(j'-c' = 'i.a^b^A

On voit, d'après cette règle, que, pour qu'un monôme soit une puissance parfaite du degré de la racine à extraire, il faut que son coefiicient soit une puissance parfaite de ce degré, et que les exposants des lettres soient divisibles par l'exposant ou Vindice de la racine à extraire. Nous verrons plus loin comment on simplifie l'expression de la racine d'une quantité qui n'est pas une puissance parfaite.

4o9. Jusqu'à présent nous n'avons pas eu égard au signe dont peut être affecté le monôme ; mais si l'on observe que le carré d'un monôme est toujours positif , quel que soit le signe de ce monôme, et que toute puissance de degré pair a/z peut être regardée comme égale à la /z'^"" puissance du carré, c'est-à-dire que «'" — («')", on peut conclure que toute puissance de degré pair d'une quantité, soit positive, soit négative, est essentiellement positive.

Ainsi

(±-ia'b^cY = -^ ïGa^b'^c\

Comme d'ailleurs une puissance de degré impair {in -+- 1) est le produit d'une puissance de degré pair in par la première puissance, il s'ensuit que toute puissance de degré impair d'un monôme est affectée du même signe que le monôme.

Donc

[-h^a^bf = -^ 64a'' ^', ( - Wb^ = - 64rt«^;'.

Il est évident, d'après cela : i" que toute racine de degré impair d'une quantité monôme doit être affectée du même signe que la quantité. Ainsi

v/T¥^=-t-art, y — 8«^:^ —2a, y—Zia'%'=^ ~ia'b.

2" Que toute racine de degré pair d'un monôme positif peut être affectée indifféremment du signe -+- ou du signe — .

EXinACTION DES RACINES DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. 229

Ainsi

3° Que toute racine de degré pair d'un monôme négatif est une racine impossible; car il n'existe aucune quantité qui, élevée à une puissance de degré pair, puisse donner un résultat négatif. Ainsi \/— (J, \/ — b, \J — c sont des symboles d'opérations inexécutables; ce sont des expressions imaginaires comme /— «, v^— b , [Voir n° 8b.)

Considérons actuellement les polynômes,

160. Nous avons déjà vu comment on élève un binôme x -^ a h une puissance de degré quelconque; mais il peut arriver que les termes du binôme soient affectés de coefficients et d'exposants.

Soit proposé, pour exemple, de développer [la"^ -f- Zab)^\ posons pour le moment la^ = x, 3ab = j; il vient

(2rt'-t- 3^1^)'= [x -+-yY = x^ -h ix^y -i- 3xf^ -hj^.

Remettant actuellement ia^ et 3ab au lieu de x et de jr, on a

{ia'^3abY= {-ia'Y-hZiia'y.iZab) + 3(2a').{3«Z')^-+- (3r/<^f ;

ou, effectuant les calculs d'après les règles du n° loS et de la multiplication des monômes,

{ia'^3abY= 8 a' -^ 36 a' b -i- 5/ia'b^-h ■i.ya'b\

On trouvera de même

(ia^b — 3abcY

= (x -h yY = x^-h ^x^y -i- 6x'y-^- ^x^-i-y*

.-= {^a'bY-^ ii^a'bYi— 3a£c)+ 6(4«'^)'(— 3«^c)'

-r- ^{^a^b){—3abcY^{-3nbcY = i5(ja'b*— nQSa^b^c -^ 864<i'=i'c=— ^32a'b*à-i- 8ia*b'c\

(Les signes sont alternativement positifs et négatifs.)

Soit maintenant à développer (x -+- j -t- z)'; posons d'abord x -hy = u;

il vient

(k -f- z)' = «^ -4- 3 za' -t- 3 z^M -+- z',

ou, en remplaçant u par sa valeur x -i- y,

(j:-4-j-i-z)'= ("C-+- r/+ 3z(j:-h j)'-f- 3z'(jr -h j) -f- z^,

23o CnAPlTHE V.

OU, développant de nouveau les calculs indiqués,

(x -i- jr -i- zY ~ jc'h- 3x'jr -H 3j:j- -^J^-- Sjt'z -r- Qxjz H- 3/*z -t- 3 ^2' -(- 3/z' -i- s^ .

Cette expression se compose des cubes des trois termes, plus des triples produits des carrés de c/uujue tenue par les premières puissances des deux outres, plus du sextuple produit des trois termes. Cette loi serait (86) facile à vérifier pour un polynôme de plus de trois termes.

Pour appliquer la formule précédente au développement du cube d'un trinôme dont les termes auraient des coefficients et des exposants, il faudrait, comme pour les binômes, désigner chaque ternie par une seule lettre, développer, puis remplacer par leurs valeurs les lettres introduites, et ejU'ectuer tous les calculs indiqués.

0;i trouvera par ce moyen, tout calcul fait,

= 8â*— ^ia^b -H l'iia'P— 'jLO%a'b'-t- 198^/V/— loS^^^'-r- '27//.

Oa développerait par des procédés analogues la puissance quatrième, cinquième, etc., d'un polynôme quelconque.

161. Passons à V extraction des racines de degré quelconque des polynômes.

Appelons P le polynôme proposé, m le degré de la racine à extraire; et concevons ce polynôme ordonné par rapport aux puissances descendantes d'une môme lettre a. Désignons d'ailleurs par x -\- y-^z-^... la racine cherchée, que l'on peut également supposer ordonnée par rapport à a.

En élevant .r -h/ -:- z -f- . . . à la m'""" puissance, et regardant pour le moment j- -i- 5 -h . . . comme ne formant qu'un seul terme, on aura .

P ou [x -r-y -(- 3 -i- . . . )'" ,.-, a/" -;- mxf"-' ( j -f- z -t- . . . }

Or il est bien évident d'abord, d'après les principes de la multiplication algébrique, que le terme x'" du second membre de cette égalité doit renfermer un exposant de a supérieur à celui d'aucun des autres termes de ce second membre, et ne peut se réduire avec ceux-ci. Donc af" est égal au terme de P, affecté du plus fort exposant de la lettre a; donc, si l'on extrait la racine m'"'" du premier terme do P, on obtiendra nécessairement le premier terme x de la racine, ii,