EXTRACTION DES EAC1>'ES DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUE

Retranchant af" de P, et appelant R le reste, on trouve R ou V — af^— maf"-^(y ~ z~ u—. ..')

'n — I „ — m jf-

nouvelle égalité dans le second membre de laquelle le terme nijf'^y r.? pourra subir de réduction avec les autres.

En effet les termes ^, r*, j', . . . , qui font partie des expressions affectées de parenthèses, renfermant respectivement un exposant de la lettre a plus fort que les autres fermes des expressions correspondantes, il si ffit de faire voir que le terme maf^^y contient un exposant plus fort de la lettre a que le terme général jf"-''^" (dont il est d'ailleurs inutile de considérer ici le coefScient).

Mais en comparant les deux quantités

af-'r et jf-'y"^ tpie l'on peut mettre sous la forme

ar"-"^)-.^"-' et a.'"'''Y.y^-\

on voit qu'elles ont un facteur commun, et que des deux facteurs non communs, ^"',7''^', le premier contient a avec un plus fort exposant que le second. Donc le term.e m.r^"' j ne peut se réduire avec le terme en a^'^r'. et, à plus forte raison, avec les autres termes.

Ainsi le terme wj^'-' r est égal, sans réduction, au terme de R auec!' du plus fort exposant de la lettre «; et si l'on divise le premier terme C? R par mx-^-\ on aura nécessairement pour quotient le second terme j' <ie la racine.

Retranchant de P la w'**™' puissance de jc -^ y, et désignant par R' le reste de cette soustraction, on démontrera, comme précédemment, que le premier terme de R', ou de P — (x-t-j)"", représente la valeur de mjf-^z. Ainsi, en divisant ce premier terme par wa"-', on aura le troisième terme de la racine, et ainsi de suite.

De là résulte le procédé suivant :

Après avoir ordonné le polynôme P par rapport à l'une f^^i lettres qui y entrent, extrayez la racine m""" du premier terme de ce polynôme; vous obtenez ainsi le premier terme de la racine. Retranchez de P la m""^ puissance de ce premier terme; puis écrivez au-dessous de la racine troixé^ m fois la [m — i/*"* puissance de cette racine.

Divisez ensuite par cette dernière expression le premier terme du reste obtenu; vous obtenez ainsi le second terme de la racine.

Fornifz hi ni'""' puissance de la somme des deux termes dija trouvés h la racine, puis soustrayez de P cette m""" puissance.

Divisez le premier terme du nouveau reste par m fois la [m — i )""" puissance du premier terme de la racine; vous obtenez ainsi le troisième terme de la racine; et ainsi de suite.

Il est facile d'appliquer ce procédé aux cas particuliers de l'exlraction de la racine 3% 4% 5*.

N. B. — On pourrait, à la rigueur, se dispenser d'ordonner d'abord le polynôme; mais alors il faudrait modifier l'énoncé du procédé, ainsi qu'on la fait pour la division, [Voir le n° 27.)