CALCUL DES RADICAUX

De même

Dans les expressions Zah\Jiac'^ '^s ^i^i "i-fib'c \/3ac^, les quantités placées en avant du radical, auquel elles servent de multiplicateurs, sont appelées les coefficients du radical.

103. Le principe démontré [loo) donne lieu à une autre espèce de simplification.

Que l'on ait, par exemple, l'expression radicale y' 4a^ Comme, en vertu

de ce principe, ^ ka^ = V v^4rt% et que la quantité soumise au radical y/ est un carré parfait, on peut effectuer cette extraction de racine carrée, ce

qui donne

De môme

En général, '"y'Vz"=r y^rt"= '^sju^ c'est-à-dire que, lorsque l'indice d'un radical est multiple d'un certain nombre «, et que la quantité sous le signe radical est une puissance /z""" exacte, on peut, sans changer la valeur du radical, diviser son indice par n et extraire la racine n""" de la cpiantité sous le signe.

Cette proposition est l'inverse d'une autre non moins importante, qui consiste en ce que l'on peut multiplier l'indice d'un radical par un certain nombre, pourvu que l'on élève la quantité sous le signe à une puissance d'un degré marc^ué par ce nombre.

Ainsi 'y a — ""^a". En effet, a est la même chose que v'a"; donc

Tn~ "} n—;, mni~~7,

\ju = \ \ja = \ja .

Ce dernier principe sert à ramener deux ou plusieurs radicaux à avoir le même indice, ce qui est souvent utile.

Soient, par exemple, les deux radicaux y ia et \Ja -r- b^ que l'on veut réduire au même indice.

Si l'on multiplie l'indice du premier par 4, indice du second, et que l'on élève la quantité aa à la quatrième puissance; si, de même, ou multiplie l'indice du second par 3, indice du premier, et que l'on élève a~^ b z.\x cube, on ne changera pas les valeurs des deux radicaux ; et il

234 CnAPITRE V.

viendra, par ces opérations,

PÈGLE GÉNÉRALE. — Pour réduire deux ou plusieurs radicaux au même indice, multipliez r indice de chncpie radicr.l par le produit de Ioils les autres indices, et élevez la cjuanlité sous le signe à une puissance d'un degré marqué par ce produit.

Cette règle, qui a beaucoup d'analogie avec la réduction des fractions au môme dénominateur, est susceptible de modifications semblables.

Soient, par exemple, les radicaux \/r/, Ijbb^ l/cr-t-o- , que l'on veut ramener au môme indice.

Comme les nombres 4, 6, 8 ont des facteurs communs, et que 24 est le multiple le plus simple de ces trois nombres, il suffit évidemment de multiplier le premier par 6, le second par 4, et le troisième par 3, pourvu que l'on élève les quantités sous chaque signe radical aux puissances de degrés marqués respectivement par 6, 4 et 3, ce qui donne

Ces notions établies, proposons- nous d'exécuter sur les radicaux les opérations de l'Arithmétique, qui sont maintenant au nom.bre de six, en y comprenant la formation des puissances et l'extraction des racines.

164. Addition et soustraction des radicaux. — Deux radicaux sont dits semblables lorsqu'ils ont le même indice et que la quantité sous le signe est aussi la même.

Cela posé, pour ajouter deux radicaux semblables, ou pour les soustraire l'un de l'autre, il. faut opérer simplement sur leurs coefficients, et placer la somme ou la différence, comme coefficient, en avant du signe radical commun.

Ainsi

zyi -^ -xyi ^^ syi , ^\ib~i\fb^^yb,

"iayj^ Z-1C \jb ~ ["iazn ic] \jb.

Souvent deux radicaux ne sont pas d'abord semblables ; mais ils le deviennent lorsqu'on leur a fait subir les simplifications des n°' 162 et 163. Par exemple,

y Sw^A-i- 16 «' — ^b*-i- a,aO^~ ia\jb -\-ia — b^ b-r-:

— [la — b) \j b -^ ia\

3y4rt*-i-2v2c/= "i \j 'iLi -\- 1 \j ia =: 5 \J ia.