CALCUL DES RADICAUX

Si les radicaux ne sont pas semblables, on ne peut qu'indiquer l'addition et la soustraction, en interposant les signes + et — .

163. Miiltiplicntion et dwision. — Considérons d'abord le cas où les radicaux ont le môme indice.

Soit y.7 à multiplier ou à diviser par '^b. Je dis que l'on a

^n ->< Ifb = " «^, et ^a : "Jb = C/j •

En effet (162), si l'on élève ^7i x ^b et '^âb à la /z'^" puissance, on trouve également ab pour résultat; donc ces deux expressions sont égales.

De même, ^ et i/r? élevés à la «'""'puissance, donnent t-; ainsi ces

deux expressions sont égales.

D'où l'on voit que : Pou/- multiplier ou diviser l'un par Pautrc deux radicaux de même indice, il faut multiplier ou diviser l'une par Vautre les deux quantités sous le signe, et affecter le résultat du signe radical commun. S'il y a des coefficients, on commence par opérer séparément sur ces derniers.

Ainsi

ou simplifiant,

— ùa-jd'-^b')

3<7 \J^(r ■;< ib \J ^n^c = 6</6 \j'6'j.a'c = 11a- b \/ -ic,

vV/^M-/^ 3 /8b(rrjr-ijyj . 3 /a" -^ b'

Si les radicaux ne sont pas de même indice, il faut les y réduire (IGS), et opérer comme il vient d'être dit.

Par exemple, ^

3 <7 y 6 ; ., 5 i y/ '2 c -- 1 5 ab y d b' c\

1G6. Formation des puissances et extraction des racines. — Comm.e on a

(m/~\'> m{~ ]n~ m~ mi ;;

d'après la règle qui vient d'être établie pour la mulliplication, il s'ensuit que : Pour élever une quantité radicale a une puissance donnée, il faut élever à cette puissance In quantité sous le signe, et affecter le résultai du signe radical avec son indice primitif. S'il y a un coefficient, on élève séparément ce coelTicient à la puissance donnée. Ainsi

(3 \/2.a) = 3' \/['2.af'' = a43 y/S^rt'— 486 rt \/ ^n'.

Lorsque l'indice du radical est tin multiple de l'exposant de la puissance que Ton a à former, on peut simplifier. Soit, par exemple, y 2« à élever au carré.

Remarquons que (ISa) \/ïâ = \J\/ia.

Or, pour élever cette quantité au carré, il suffit de supprimer le premier signe radical; ainsi l'on a

Soit encore y 3^ à élever au carré; cette expression revient à

Vv/36; donc [lÛy=yU

C'est-à-dire que, si Vindice du radical est divisible par l'exposant de la puissance, on peut effectuer cette division, en laissant la quantité sous le radical telle qu'elle était.

Quant à l'extraction des racines, il faut multiplier Vindice du radical par l'indice de la racine à extraire, et laisser la quantité sous le signe telle qu'elle était.

Ainsi

V^3c='v2Ci S^^c — s/bc.

Cette règle n'est autre chose que le principe du n° Ifîo, énoncé dans un ordre inverse.

Si la quantité sous le signe est une puissance parfaite, de même degré que la racine à extraire, il y a lieu à simplification.

Ainsi \ijfâ^ étant (153) égal à V v'sâ^ ^e réduit à ^^. De même,