Fonction composée. — Soit

y = f{u, V, iv), u, ç, w étant fonctions de la variable indépendante x. On a

dy = fju + f:,dv+f;jw.

On obtient la différentielle seconde en remarquant que chaque terme de dy est un produit. Donc :

d'y = d in) du -+- d (/;:) dv + d [fi) d>v + nd'u

Développant d (fi) par la règle de différentiation des fonctions composées, on a

d 'f,) = f!.>d', + A''^" + f<uJ^->

fj^ désignant la dérivée partielle de f prise deux fois par rapport

à //, fu. la aéiivée partielle de /^ prise d'abord par rapport à u, puis par rapport ii ('... etc. Calculant de même t/ (/lO, d[f;,) et se rappelant que

rtt f" f'i f"

fuc /itif /«" /nu?"'

on a

On calculera de même les différentielles d'ordre supérieur. Il est inutile de chercher à retenir ces formules générales ; car il sera aisé de former les différentielles des fonctions composées de proche en proche, dans chaque cas particulier.

Exemple. — Soit un produit

On a d{jm>) = udv -\- vdu; d^[in>) = ud-{> + 2 duds> -\- \>d^u;

où l'on peut remarquer que, dans d'^ ('<^), les coefficients numériques sont ceux du développement de [a -f- />»)" par la formule du binôme.

n. Remarques sur les différentielles d* ordre supérieur. — Nous avons vu que, pour les différentielles du premier ordre, les formules restent les mêmes fjuel (jue soif le choix de la variable indépendante. Par exemple si

on a

dy = fu du

que // soit la variable indépendante ou non.

Mais, dans les expressions des différentielles d'ordre supérieur, le choix de la variable indépendante joue un rôle, car cette variable indépendante est caractérisée par ce fait (j ne ses différentielles d'ordre supérieur sont nulles.

Ainsi, quand on a

on trouve

quel que soit le choix de la variable indépendante. Mais si // est pris pour variable indépendante du est regardé comme une constante, (Pu = 0, et on a la formule

qui n'est exacte que si // est la variable indépendante.

ni. - FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES