Dérivées et différentielles partielles. — Soit
une fonction des deux variables indépendantes .r et y. Ces deux variables étant indépendantes, on peut laisser y constant et faire varier seulement .r; la variable z est alors fonction de x et ses dérivées par rapport à œ
sont les dérivées partielles de - par rapport à .r.
D'après la notation différentielle, y étant toujours regardé comme une constante, les différentielles successives de - par rapport à r seront
dz = fjx, d-z=fl!,dx\,.. ;
ce sont les différentielles partielles de z par rapport à x. Pour éviter toute confusion entre les différentielles partielles et les différentielles totales que nous étudierons plus loin, nous con-
vi6 COURS D'ANALYSE
vieiulrons (remployer un ô de ronde pour désigner les difTérenlielles partielles et nous écrirons
ou encore
\ous avons ainsi, dans la notation différentielle, les expressions des dérivées partielles de z par rapport à x.
De même, z est une fonction de y quand on regarde x comme constant ; ses dérivées partielles successives par rapport à y s'écriront:
ày ''-" ô//- '''"'"'
àz La ([uantité -T — est une fonction de .r et y ; si l'on y regarde y
comme constant, elle a une dérivée partielle par rapport à .r
àx \àyj ~ ''■' ' de même -v— a une dérivée partielle par rapport à y
ày \ àx ) '''
On démontre, dans les éléments de l'algèbre, que ces deii.
r/itantifcs sont i'^dles. Nous les écrirons
àxài/
où l'ordre des facteurs O.r et à y du dénominateur peut être
interverti. D'une manière générale la dérivée d'ordre k de
OVr.
•JT* P«»' rapport a y
dy" \ dx'' )
lyriNiMJcyT petits, differestielles 27
est identique a la dérivée d'ordre h de — — -j- par rapport a :v
Ces deux dérivées partielles identiques se désignent par la notation
19. Différentielles totales. — Soit encore z une fonction de deux variables indépendantes jr et 1/
La diflerentielle totale de - est, par définition,
ou
dz = —^ dx H — -^ dy, àx ày '^
dx et dy étant des accroissements arbitraires attribués aux variables indépendantes, accroissements que nous supposerons habituellement infiniment petits.
Cette différentielle totale du premier ordre, admet à son tour une différentielle totale que l'on désigne par d"^ z et qu'on calcule en faisant l'hypothèse que les accroissements dx eidy des variables indépendantes sont constants. On a alors
cP-. = (/;Wx + f:;dy) dx + {f;:,dx -+- f^idy) dy,
car pour former d [dz) il faut prendre la dérivée partielle de dz par rapport à x multipliée par dxy plus la dérivée partielle de dz par rapport à y multipliée par dy. En réduisant, comme f^y est égal à f^^, on a
d^z = f^^dx' + 2 f^'ydxdy + fllJif ou encore
d'z = 44 rf^'' + 2 -4^- d^-^y +^dy\ d.r^ dxdy ày^ '^
•i8 COURS D'ANALYSE
Dans la théorie des surfaces, on désigne ordinairement par />, q, t'y s, t, les dérivées partielles premières et secondes de. z par rapport à .r et 1/
à^àj^ à'^z àq
àx' ~ d.r ~ ''' 'W ^ àtj ~ ^'
à^z àp à(j à.tdt/ àt/ à.t' ' *
On a, avec ces notations, les expressions suivantes des différentielles totales premières et secondes de z
dz = ])(Lv + qdy d'z =^rdx'- 4- 2 sdxdij + tdy\
KxEMPLE. — Soit :
on a
2 — XT — ''
àxàfj df/ ô
àrz àq
dz = (3 x' -f- 4 .r//) dx -\- (2 ,1' + 4 y3) dy, d}z == (6 .r -f- 4 //, dA- -f- 8 .r^/./v/// + 12 y^ dy\
