III. — EXEMPLES
172. Hélice circulaire. — Soit une hélice tracée sur un cylindre de révolution de rayon a. Prenons comme axe des - Taxe du cylindre , comme axe des .r la perpendiculaire AO abaissée d'un point A de l'hélice sur l'axe du cylindre ; comme axe des // une perpendiculaire au plan rOz. Soit M un point de
COURS D'A y A LY SE
l'hélice, P sa projection sur le plan des .vjj. Comme le point P se trouve évidemment sur le cercle de base du cylindre dans le plan .i'Of/, on a OP = a.
Appelons ii l'angle AOP ; on a
arc AP =^ <'///.
D'après la définition de l'hélice, l'ordonnée :; = MP du point est proportionnelle à l'arc AP, c'est-à-dire à n. On a donc, pour les coordonnées du point M,
1> .r :^r n cos ity // := a sin n^ z = kt/y
h désignant une constante.
Pas de l'hélice. — Le pas d'une lièlice est la longueur de la génératrice du cvliiulre comprise entre deux spires consécutives.
ig. 88.
Fig. St).
On peut dire aussi <pie c'est la longueur dont croit r quand le point P l'ait un tour sur le cercle de base, c'est-à-dire quand u croit de 2 t.. Si on désigne ce pas par //, on a donc, d'après l'expression (1) de -,
Sens d'enroulement d'une hélice. — Imairinons un observateur placé dans l'intérieur du cylindre suivant l'axe du cylindre, ayant, par exemple, les pieds en 0 et la tête en ::. Supposons qu'un mobile parcoure l'hélice dans un sens tel que Tobservatcur voie cr mobile aller de ses pieds vers sa tête ; alors, pour rhélice
i:\ i:m l' i.Ks u8-)
représciilcc clans la figure 8, robservaleur voit ce mobile toiiiner autour de lui de sa gaucJie vers sa droite. Ce fait est indépendant du sens dans lequel l'observateur se place le long de l'axe. Car si on imagine un deuxième observateur ayant les pieds en O, mais la tète en z'\ si un mobile suit l'hélice dans un sens tel que cet observateur le voie aller de ses pieds vers sa tète, il le voit encore tourner de sa gauche vers sa droite. Cela tient d'ailleurs à ce que la partie de l'hélice située au-dessous du plan .vij et la partie située au-dessus sont égales comme symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe 0.v. D'après cette propriété, on dit que l'hélice de la figure 88 est e/iroulée de liduclw à droite (dextrorsum).
Au contraire l'hélice de la figure 89 est enroulée de droite à ^'Y/7/67<e(sinistrorsum). C'est là le sens ordinaire des vis. Elle est représentée parles mêmes équations (1) à condition qu'on prenne comme sens positif de G// la perpendiculaire dirigée en arrière sur le plan .vOz.
Ainsi pour passer d'une hélice à l'autre il sullit de changer le sens de Oij en conservant les mêmes formules.
173. Cosinus directeurs de la tangente. Longueur de Tare d'hélice. — Prenons comme origine des arcs s le point A correspondant à ?< = 0, et, comme sens positif des arcs, le sens dans lequel se déplace le point M quand u croit. On a
ds = ^dx^- 4- dif + dz- -=^ \'d' + lî-du
nous choisissons le signe -f- devant la racine carrée, puisque .scroît avec u.
On a immédiatement, en intégrant,
H=^\ld^-^lr u,
sans ajouter de constante, car s s'annule avec u. Cette formule est évidente géométriquement ; en effet si l'on développe le cylindre le triangle curviligne AMP devient un triangle rectangle ayant pour hypoténuse l'arc AM = s et pour cotés de l'angle droit l'arc AP = «z^ et l'ordonnée MP-=/,v/. Donc
S- ^=^ a^ ir -\- k ir .
iH6 COURS D AXALYSE
Menons la tangente M^ dans le sens des arcs positils, c'est-àdire de a croissant; les cosinus a, ,3, y des angles de M/ avec les
axes sont
(Lv f, (hj dz
ou, d'après les valeurs ci-dessus de cLvy dy^ dz, ds,
rt sin u ,, <^/ cos // /•
Le cosinus appelé y étant constant, la tangente à l'hélice fait un angle constant avec les génératrices, propriété rendue évidente par le développement du cylindre.
174. Plan oscillateur. — Difîerentiant deux (ois les équations de l'hélice (1) où u est variable indépendante, on a
dx = — a sin ii du , dt/ = a cos n du , dz = kda ,
d'.v = — a cos u du^ , d-y =z — a sin u du-, d'z =0,
car u étant variable indépendante, a'-ft est nul. L'équation du plan osculateur à l'hélice au point .r,ij,z étant mise sous la forme
les coefficients A, B, C ont pour expressions
A :=: dyd-z — dzd'^y = ak sin udu^,
B = dzd^x — dxd-z == — ak cos.u du-\
C = dxd-y — dyd'.v = crdu\
L'équation du plan osculateur est donc, en supprimant le I acteur du'^^
(X — x) ak sin u — (Y — y) ak cos u -\- 'L — r) ^r ^= 0.
On peut, dans cette équation, remplacer ^/ cos // et <^/ sin // par les coordonnées x et // du point de contact. Elle devient alors
OU, en développant,
(2) *(yX-^-Y) + «»(Z..) = 0.
FXr.MnLES 287
Telle est réquatioii du plan oscillateur à riiélice au point (r, y, z] . Otte équation montre (|ue : Le plan ose iihi leur à lliélice en un point M contient la normale MX' au cylindre. En effet, la normale MX' au cylindre se projette horizontalement suivant le rayon OP ; elle a donc pour équations :
yX — .iY:=0, Z- = 0.
Le plan osculateur (2J contient évidemment cette droite. D'après cela, la normale principale à l'hélice en M est la normale MX' au cylindre.
Problème. Déterminer les points de contact des plans osculateurs menés à Vliélice par un point donné O' de coordonnées x ,y\d . — Soit M un des points de contact d'un des plans osculateurs cherchés; x,y,z les coordonnées de ce point. Il faut écrire que le plan osculateur 2) au point M passe par O', ce qui donne la condition
Il faudra prendre, sur l'hélice, tous les points (j-, ?/, -) vérifiant cette condition. Si on regarde r, y, z- comme des coordonnées courantes, cette équation représente un plan Q passant par le point 0' donné. Les points de contact cherchés étant à l'intersection de ce plan et de l'hélice, on voit que \es points de contact des plans osculateurs à Vliélice issus d' un point donné 0^, sont sur un plan passant par ce point.
Si donc on fait la projection conique ou perspective d'une hélice sur un plan donné, le point de vue étant un point quelconque O', les points d'inflexion de la courbe perspective sont en ligne droite. En effet, les points d'inflexion de la courbe perspective ne peuvent provenir actuellement que de la perspective des points de contact I^, I^,.. I,j des plans osculateurs à l'hélice issus du point de vue O'. Ces points de contact I^, I^,.. I„ étant sur un plan Q passant par 0', les projetantes G' I^, O' I^,.. O' I„ sont dans le plan Q et leurs traces sur le plan de projection sont en ligne droite.
Cette propriété subsiste quand le point O' s'éloigne indéfiniment dans une direction donnée, c'est-à-dire quand on projette la courbe sur un plan, parallèlement à une direction donnée. Par
exemple, la projection orthogonale de l'hélice sur le plan r 0 est la courbe définie par
a ou
.r =rrt cos
Cette courbe a une infinité de points d'inflexion tous situés sur 0-.
Remarquons, en terminant, qu'il n'y a pas sur l'hélice de points où le plan osculateur est stationnaire, c'est-à-dire coupe en quatre points confondus. Nous avons vu, en effet, que, pour une courbe
si de pareils points existent, ils sont donnés par l'équation
A, B, C étant les coefficients du plan osculateur. Or, actuellement
A = al\ sin n dn:\ B = — ak cos u du\ C = crdii\
f" [u) = a sin //, f iu) -=: — n cos u, 'Y' (^/) = 0.
La quantité
est donc ici, en supprimant le facteur du^ ^ a'^k : elle est constante et ne peut pas s'annuler.
175. Altre exemple. — Cherchons le plan osculateur à \\\ courl^e définie par les équations
vV -^' = "2"' ^"""6"' ' '
où A est un paramètre variable.
Actuellement
)-* d.v == \d\, di/—^ d\ dz = £l,
d'x = dV, d'y = Idl' , d^z =- 0.
rCXEMPLKS iSg
Les coeliicienls de l'équation du plan osculateur sont donc
A = di/cPz — dzd'y = — un:\
B = dzd\r — d.vd'z = /a ' ,
A- C = d.vd'i/ — dyd^x := -^ </):\
et l'équation du plan osculateur au point !j-, i/, z) est
ou
, en remplaçant 1,1/ yZ par leurs valeurs et changeant les
signes,
>,X-Y-^Z + ij^=0.
APi'ELL. Analvî^c. <1)
