I. - SÉRIES DE MAC LAURIN ET DE TAYLOR

176. Représentation géométrique d'une fonction de deux variables. — Soit une fonction :: des deux variables indépendantes, a: et i/,

Par rapport à trois axes rectangulaires Or, 0?/,0r, cette équation représente une surface, qui figure géométriquement la variation de la fonction z.

177. Développements en séries de puissances entières et positives des variables. — Soit d'abord la fonction

à développer suivant les puissances entières et positives de. r et //. Les identités :

donnent, en multipliant membre à membre,

SKltfES DE MAC-LÀLRIN EJ DE TAYLOR 291

Si l'on fait croître p et (j indéfiniment, en supposant x ei y moindres que 1 en valeur absolue, .r'', y"^ tendent vers zéro et l'on a le développement

où les exposants Jii et n prennent toutes les valeurs positives entières. Ce développement est convergent pour

Cas général. — Prenons maintenant une série ordonnée par rapport aux puissances positives croissantes de deux variables x et y

OÙ jJi et 71 prennent toutes les valeurs entières et positives, les coeilicients constants Oqq, a^^, ^o^,..., «„,.„ se succédant suivant une loi déterminée.

On a alors le théorème suivant :

Une série de la forme (1; est convergente pour des valeurs de x et y comprises dans des intervalles symétriques par rapport à zéro.

On démontre ce théorème par un raisonnement qui est l'extension naturelle de celui qui a été employé au n** 96.

Supposons, en effet, que la série (1) soit convergente pour ^- = a, y = P; nous allons démontrer qu'elle est convergente pour toutes les valeurs de x et y telles que

— et

désignant les valeurs absolues de — et — .

En effet, la série, étant convergente pour j^ = a, y=[i, le terme général

tend vers zéro, quand l'un des entiers m ou n croît indéfiniment,

■nyi

et quand ces deux entiers croissent indéfiniment suivant une loi

quelconque.

lim«,„X'P"=0.

On peut donc assigner des valeurs de m' et n' assez grandes

pour que l'on ait

pour toutes les valeurs de m et n telles que m ^ m', n ^ n .

Cela posé, écrivons la série (1) sous la forme suivante :

La' série se compose d'abord d'un nombre limité de termes pour lesquels les exposants m et n sont moindres que di' et n' ; pour les autres termes, en nombre illimité.

I ^/.,,„a"'?» I <1, l't, par suite, pour la valeur absolue du terme général

-MTmr

Or, la série dont le terme général est

est convergente, d'après le cas particulier précédent, et a pour somme

dès que

['-ITÛL'-Ifl}

fl<.

SERIES DE MAC-LA C'R/y ET DE TAYLOH

La série proposée est donc également convergente, tlès que ./• et y possèdent des valeurs telles que

Ce qui démontre le théorème.