Interprétation géométrique

somme de la série

Si l'on appelle z la

^fn,.,rf'"\f/"

la fonction r définie par cette relation existe pour

Si donc, on considère dans le plan des j^y les quatre droites

ces quatre droites forment un rectangle AB CD (fig. 90), et, pour tout point P de coordonnées w et i/ situé dans ce rectangle, la valeur de ~ existe. On peut donc dire que Féqua- d tion (2) définit une portion de surface courbe A' B' CD' se projetant horizontalement sur le rectangle A B C D.

On a ainsi l'extension aux fonctions de deux variables des théorèmes rencontrés antérieurement pour les fonctions d'une variable (n* 96).

On peut appeler le rectangle A B C D le rectangle de convergence de la série (l.

179. Bifférentiation et intégration des séries de puissances entières et positives de deux variables. — Une série telle que (1) définit, dans le rectangle de convergence, une fonction de jr et y.

f[x,y) = fl'o.o-h ^'i.o-*' + <^'o,iy 4- + ^n,,n-f''"t/'-\-

On peut démontrer, comme nous l'avons fait pour le cas d'une

Fig. <K».

variable, les deux théorèmes suivants que nous énonçons seulement :

1** Si Von prend les dérivées partielles de tous les termes de la série ^ [x ^ y) par rapporta x ou à y, la nouvelle série obtenue converge dans le même rectangle que la première et a pour somme la dérivée'partielle

àf df

-^ ou --!—.

ox dy

2° Si Von multiplie tous les termes de la série par dx et si l'on intègre, par rapport à x de 0 à x, la nouvelle série obtenue est convergente dans le même rectangle que la proposée et a pour somme

On a un théorème semblable pour l'autre variable y.

180. Série de Mac-Laurin pour une fonction de deux variables. — Etant donnée une fonction de deux variables f{x,y), proposons-nous de la développer en une série procédant suivant les puissances entières et positives de x et y.

fi^fU) = «0,0 4- «i.o-î'4- «0.1?/ 4- chfi^i'^ -h a^yvy + a^.y- +

Le problème est de calculer les coelïicients «,„ „ quand la fonction est donnée. Pour cela, prenons les dérivées successives des deux membres par rapport à x et y.

oy __

SÉRIES DE MACLAUniS ET DE TAYLOR 29$

les termes non ('crits contenant ./• ou [/ en facteur. Dans tous ces développements, faisons .i'=Ojjj=0; nous avons :

1 /,v/-\ / dY \ i /dY\

"-^Tiiô^;„' ""^liTô^jo' "«•'=tI-ô7-;,-

On a ainsi le développement demandé :

-M-im.-MMMm-^

OÙ les indices o signifient, qu'après avoir pris les dérivées, il faut y remplacer .r et 1/ par 0.

On a ainsi l'extension à deux variables de la série de Mac- Laurin.

Pour que ce développement soit applicable, il faut

1" Que toutes les dérivées -r^ r-^ — soient finies et détermi-

nées ;

2° Que la série soit convergente;

3"* Qu'elle ait pour somme la fonction donnée /(.f,y).

Si l'on suppose ces conditions remplies, la série représente la fonction /"(.r, y) pour toutes les valeurs de x et y qui la rendent convergente, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x et y comprises, respectivement, dans des intervalles symétriques par rapport à 0.

Géométriquement , si l'on considère la surface

la série

représente la portion de cette surface qui se projette sur le plan àcs xy dans un certain rectangle ABCD ifig. 1)0).

i^Ç, COURS D'ANALYSE

Autres notations. — Désignons par y;, </, / -, s, t les dérivées partielles de 3 par rapport à .r et y (Voyez n** 19).

^ d.r 0.1- ' ^ dt/ 0// '

i)'z __ oy

d.rOy d.rOy

(Convenons en outre de désigner par z^, p^^ y^, î\, s^^ t^, les valeurs de la fonction et de ses dérivées pour .r = 0, y = 0. Nous pourrons alors écrire les premiers termes du développement de la façon suivante :

- = 'o 4- Po-t' + ^o/y + -9- [v' + 2 v'// + ^o.y') +

181. Série de Taylor. — La série de Mac-Laurin permet de développer la fonction

pour les valeurs de .r et // situées dans un rectangle ayant pour sommet l'origine, et, par suite, d'étudier la surface représentée par l'équation (3), dans le voisinage du point où elle coupe l'axe Oi;.

Si l'on veut étudier la même fonction /\.r, //) dans le voisinage d'autres valeurs

on ramène ce cas au précédent en posant

et on étudie la (onction

pour des valeurs de .r' et //' voisines de zéro. Si Ton développe cette fonction de .r' et //' suivant les puissances positives et croissantes de a/ et y, on doit, pour former les coeflicients du déve-

SÉRIES DE MAC-LAI RIS ET DE TAYLOR loppcnu'iit, calculer los valeurs des dérivées partielles

pour u'=: //^^O, c'est-à-dire les valeurs des dériv«M's

df df oy oy

pour .1':== a , 1/ =: b ; nous désignerons ces valeurs par 0/' (Y iV/- tV/'

iVhVv

On a alors le développement

ou, encore, en appelant

Py q, r, s, ^ les valeurs des dérivées premières et deuxièmes de f[.v, tj) pour

l4) /"> + 'i\ h + y'j = fia, h] -hjj.v' -f- fjy' -h

— v.r'^ + 2 6-.ry+/y^;+.

Ces développements sont convergents pour les valeurs de a' et 1/^ comprises dans des intervalles symétriques par rapport à zéro.

Au point de vue géométrique, considérons, sur la surface, le point R dont la projection O^ sur le plan .r O // a pour coordonnées a et b.

Le changement de variables

.r = rt -t- .r ,

Fig. 9'-

revient à transporter les axes de coordonnées, parallèlement à eux-mêmes, au point O', en O' x' ,0' tj ,0' z' [fig. 91).

Par rapport à ces nouveaux axes, la surface a pour équation

Le développement en série (4) suivant les puissances de x' et y' est convergent dans un rectangle situé dans le plan des .r'y', ayant son centre en O' et ses cotés parallèles aux axes; ce développement représente donc la portion de surface qui se projette horizontalement dans ce rectangle.

Autre notation. — Changeant, dans le développement ^4), a q\ h en X et y, x' et y' en // et k, on a le dévelopjDcment

f{x + h,y + k) =fix, y) + /, -^ + A- ^

ou encore

f[.ic-\-h, y-\.k)=f'x,y^-\-i)h-\-(ik

j L 'rli^ L 2 shk -]- lIA A-

développement convergent pour des valeurs de // et k suffisamment petites en valeur absolue.

n. - PLAN TANGENT A UNE SURFACE.

182. Définition et équation. — Soient une surface ayant pour équation

et un point M de cette surface ayant pour coordonnées .r, y, z. Par définition, le plan tangent en M est le lieu des tangentes menées, en M, à toutes les courbes tracées sur la surface par le point M. Imaginons une courbe quelconque M C tracée sur la surface et passant par M ' fig. 1)2). Le long de cette courbe, les coordonnées d'un point sont des fonctions d'un P«i*aniètre // vérifiant identitruement la relation

Quand on fait vaiîor u infiniment peu, le j)oint M subit, sur