PLAN TANGENT A UNE SURFACE

la courbe (^, un déplacement infiniment petit MM' ayant pour .projections les différentielles dx^dij^ dz des coordonnées regardées comme fonctions de u. Les équations de la tangente M/ à la courbe C sont alors

— X Y — y Z— 3 dx dy dz

Comme les fonctions x, y, z de la variable u vérifient identiquement h\ relation

on a, en appliquant la règle de différentiation des fonctions composées,

relation que nous écrirons

;2) dz^pcLv + qdy,

en désignant, pour abréger, pary> et q les dérivées partielles de z par rapport à x et y :

ou encore

dz <)z

fin remplaçant dans l'équation homogène (2) dx, di/, dz par les quantités proportionnelles X — x,\ — //, Z — z tirées des équations (1) de la tangente, on a l'équation du lieu des tangentes

(3) Z - z =p [\ - .;■; + y : Y - .,/; . Telle est l'équation du plan tangent au point (.r, y, r).

183. Normale. — La normale au point (.r, //, ?) à la surface, étant la perpendiculaire au plan tangent, a pour équations

(4) Xzi:L = I^=J^.

jj q —1

'ioo COURS D'ANALYSE

184. Cas OÙ la surface est définie par une équation non résolue. — Soit

l'équation de la surface. Cette équation définit z comme une fonction implicite de .v et y qu'on peut désigner par

Pour calculer la dérivée partielle de z par rapport à .r,

~l.z=r.p^ on prendra la dérivée du premier membre de (5) par

rapport à .r, en y regardant z comme fonction de a: : on a ainsi

ou

On a, de même, en difFérentiant par rapport à y, OF OF „

Ces relations donnent les valeurs de y; et q : en les portant

dans les équations du plan tangent et de la normale, on obtient

les équations

V /^' ^F ,^. OF ,,, . dF 'Plan tancent (\ — .r \- ^\ — t/ 1 /-;__=: 0;

(.Normale — ^r.; — ^=z — — — = — —

^ ' dl^ iM' db

OF

OF

ôF

OF i)z

Nous prendrons, ordinairement, les équations du plan tangent et de la normale sous les formes (3) et (4). Quand l'équation de la surface n'est pas résolue par rapport à ::, on se rappellera quey> et q sont définis par les relations

OF OF

O.r Oy