DF >)F OF
^soient nulles toutes les trois. Alors l'équation du plan tangent
n'existe plus. Les valeurs dey^ et (j apparaissent sous forme indètevminèe. Les points spéciaux pour lesquels cette circonstance se présente s'appellent points singuliers de la surface. En un tel point, les tangentes aux diverses lignes tracées sur la surface ne forment plus un plan, mais un cône dont le degré peut être plus ou moins élevé. Par exemple, le sommet d'une surface conique est un point singulier de la surface : les tangentes aux diverses courbes tracées par ce point sur la surface conique forment évidemment un cône qui se confond ici avec la surface conique ellemême.
186. Remarque. — La tangente à une courbe en un point M est la limite d'une droite joignant le point M à un point M' infiniment voisin. Il ne faudrait pas croire que le plan tangent à une surface en un point M est la limite d'un plan passant par M et par deux points infiniment voisins M' et ^\" pris sur la surface. Le plan MM^ M'' tend vers des positions limites diverses qui dépendent de la façon dont les points M' et M'' tendent vers M en se déplaçant sur la surface.
Par exemple, si les points M' et M" tendent vers M de façon que les droites MM' et MM'' tendent vers deux tangentes distinctes à la surface, le plan MM' M" tend vers le plan tangent, car sa position limite contient deux tangentes à la surface. Mais si les points M' et M" tendent vers M en suivant tous deux une même courbe tracée sur la surface par M, le plan MM'M" tend vers le plan osculateur à cette courbe et non vers le plan tangent il la surface.
187. Position d'une surface par rapport au plan tangent dans le voisinage du point de contact. — Prenons, sur une sur lace
un point déterminé A de coordonnées a, h, c
ayant pour projection O' sur le plan des jy; appelons p et q les valeurs des dérivées ~- et — ^ en ce point, /•, s et t les valeurs des
dérivées secondes ^-^ ? — -r — et -r-^ au même point. Soit M o.v^ ù.ivt/ 01/ *
un point de la surface, voisin du point A, P sa projection sur
le plan des jt/ ; pour étudier la surface dans le voisinage du point A, transportons l'origine au point 0' en prenant de nouveaux axes 0' y y' z' parallèles aux anciens (fi^. 93). Nous aurons
.r = fl j -f'.
y = h^ll'^
et l'ordonnée z conservera la même valeur.
Les quantités .r' et y' sont les coordonnées du point P par rapport aux axes OV, O'y' . La valeur de - en fonction de x et y devient
ou, en développant par lu formule de Taylor,
(7) .. = />/, b) ^px' -f- qy' +-^ (/'.r'^ + 2 .vr'//' + ty^] +
pr.iy TA y G EXT a lwe surface 3o3
L'ordoiiiu't' Ml* rencontre le plan tangent en A en un point M^, dont nous appellerons z^ l'ordonnée MJ\ Comme le plan tangent en A a pour équation, par rapport aux anciens axes,
et que les coordonnées du point P sont
l'ordonnée z^ du plan tangent est
(8) z^ = c-{-jj.i'-\-rji/'.
La quantité c étant égale à fa, h , on voit que l'ordonnée -, du plan tangent s'obtient en s'arrètant aux termes du premier degré inclus, dans le développement de l'ordonnée z d'un point M de la surface suivant les puissances de x' et ij' .
Pour voir comment la surface est placée par rapport au plan tangent, faisons la différence c — z^ des ordonnées MP et M,P. On a
(9) z-z,=.-^[rr^^2s:,'y'^ty'^^ ,
où les premiers termes non écrits sont du troisième degré en x' et 7/'.
Désignons par p et cp les coordonnées polaires du point P par rapport aux axes x' O' y' . On a
X— pcos'^, 7/=psino,
et, par suite,
2 — z^ =-^ I /• cos- 'f+2.s' cos cp sin cp-j-^sin^cp-l-p/^ (?/■+" ]
où^(cp) est un polynôme homogène du troisième degré en cos cp et sin cp. D'après cette expression, si cp n'a pas une valeur annulant le trinôme
A('f) ^^ '' ^^^' 'f + - *" c^s 'f s"^ 'f + ^ sin" '^,
on peut prendre p assez petit pour que la quantité qui multiplie p^ ait le signe de ce trinôme ^('f). La différence z — r^ a alors
3oî COURS D'ANALYSE
In sitçne de ce iiK^me trinôme. D'après cela il y aura à distinguer trois cas, suivant la nature des racines du trinôme /^ {^].
Premier cas. — Soit d'abord rt — s^ positif. — Alors le trinôme £ ('p) ne s'annule pour aucune valeur de cp : il conserve, (luel que soit cp, un signe invariable. Donc, dans le voisinage du point de contact A, le signe de - — z^ est invariable; la surface, au voisinage de A, est située d'un même coté du plan tangent en A. On dit alors que la surface a, au point A, une courhure totale positi^^e, ou encore qu'elle est corn>ej'e en ce point.
On peut se rendre compte d'une autre manière de ce fait que, dans le cas actuel (// — 6->0), le plan tangent en A n'a en commun avec la surface, dans le voisinage du point A, que le point de contact A lui-même. En effet, pour obtenir l'équation de l'intersection de la surface par le plan tangent, il faut écrire
La projection de l'intersection sur le plan des x' y' a donc pour équation :
o = ,.y^ + 25.ry + /y^-4- ,
les termes non écrits étant au moins du troisième degré en a' et //'. Cette équation ayant, comme termes de moindre degré, des termes du second degré, représente une courbe ayant un point double à l'origine. Mais ce point est un point isolé; en effet, l'équation du faisceau des tangentes à l'origine est
r.,'^ + 24-,ry + /y^ = 0,
équation représentant deux droites imaginaires, car rt — .s^ est supposé positif.
Exemples. — Par exemple, un ellipsoïde, un hyperboloïde à deux nappes, un paraboloïdo elliptique sont des surfaces convexes en chacun de leurs points. Un t(»re est convexe en tous les points de la partie engendrée par la moitié de la circonférence générative PAP' (/?^^ 94) opposée à l'axe. Quand une surface est convexe, en un point A, si on mène un plan parallèle au plan tangent en A à une distance très petite du plan tangent du côté où
PL.iy TAyGi:yT a i\\e surface
se trouve la suiface au voisinage de A, ce plan coupe la surface suivant une petite courbe fermée. C'est ce qu'on voit sur la figure 94 qui représente un tore, le point A étant pris sur la
partie convexe du tore. Un plan parallèle au plan tangent, très voisin de ce plan et placé de l'autre côté, ne coupe pas la surface au voisinage de A.
s- ncî^a
tif.
En écrivant
Deuxième cas. — Supposons ri le trinôme f\ ( -p) sous la forme :
f^ [z> = cos'cp / tang- cp [ 2 s tangcp -|-r^,
on voit qu'il s'annule pour deux valeurs de tangcp
tangcp=:A, tangcp = )/,
réelles et distinctes. A ces deux valeurs de tang cp correspondent, dans le plan .r'O't/, deux droites O'E et O'E' {fig. 95), de coefTicients angulaires A et À'; soient, dans le plan tangent en A, AD et AD' les deux droites ayant pour projections O'E et O'E'. Quand le coellicient angulaire tang cp de O'P n'est pas égal à A ou a', le trinôme ^ f'f) n'est pas nul, et, par suite, z — -, a le signe de ce trinôme pour des valeurs sulïlsamment petites de 0, Comme le trinôme fl (cp) a des signes différents suivant que tang cp est ou non compris entre les racines A et a', la différence c — z^ i\ un certain signe pour les points M de la surface, voisins de A, se projetant horizontalement dans l'angle EO'E' ou dans l'angle opposé par le sommet, et le signe contraire pour les points M voisins de A se projetant dans les angles adjacents. La surface traverse donc le plan tangent dans le voisinage du point A.
APPELL. Analyse. 20
3o6 COURS D'ANALYSE
On dit alors que la surface possède en A une couvhure totale
ne^atwe.
Pour avoir l'équation de la courbe d'intersection de la surface et du plan tangent, faisons encore
nous aurons, comme projection de l'intersection, 0 ^ r.z'^ 4 2 s.T'iy 4- tt/'' +
Cette équation représente une courbe ayant un point double à l'origine 0' ; le faisceau des tangentes au point double a pour équation :
ra;"-i-2s.r'u'-{-ti/" = 0',
ces tangentes sont réelles, ce sont précisément les droites O' E et O' E'. Donc le plan tangent en A coupe la surface suivant une courbe, ayant un point double au point de contact et pour tangentes en ce point les deux droites AD et AD'. Ces deux droites AD et AD' se nomment les directions asymptotiques au point A.
Exemples. — Par exemple, un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde hyperbolique sont des surfaces dont la courbure .
Fi g. 9(i, Fi g. 97.
totale est négative en chaque point. Le plan tangent à un paraboloïde hyperbolique en un point A, le coupe suivant deux droites AD et AD' [fig. 96).
Un tore est à courbure totale négative, en tous les points de la partie de surface engendrée par la moitié de la circonférence génératrice {fig. 1)7) tournée vers l'axe. Le plan tangent P, en un de ces points A, cotipe le tore suivant une courbe ayant un point
