PLAN TANGENT A UNE SURFACE

double en A. Si on mène les tangentes AD et AD^ au point double A, on obtient les directions o^ymptotiques au point A.

Troisième cas. — Supposons enfin /•/ — s- nul. — Alors le trinome

f^ (tp) = cos-tp ^j tang- cp -|- 2 6- tang '^ -{- /•),

est un carré parfait.

/;(=)=^cos^ç(tangs-).)^

Ce trinôme a un signe constant, quel que soit 9; il s'annule pour tang cp =)v.

Donc, tant que le coefficient angulaire tan^cp de O'P n'est pas égal à A, la difterence 3 — -^ a, dans le voisinage de A, un signe constant. Si on fait tang cp =: )v, c'est-à-dire si le point P est sur la droite O'E de coefficient angulaire A, f^ (») est nul, et alors, pour p suffisamment petit en valeur absolue, - — -j a le signe du premier terme de son développement qui ne s'annule pas pour tangcp=À.

Donc la surf\ice est d'un même côté du plan tangent, dans toutes les directions autour du point A, excepté dans une direction AD {fig. 98) ayant pour projection O'E et la direction opposée. Pour ces deux directions opposées, on ne peut rien affirmer, sans faire d'hypothèses particulières sur la façon dont se comportent les termes successifs du développement de ^ — z^, quand on y fait tang cp =}..

Dans ce cas, on dit que la surface a, au point A, une courbure totale nulle.

Le plan tangent en A la coupe suivant une courbe, dont la projection a pour équation

0 =j\v" + 2 sx'y' + ty'- +

Actuellement, cette courbe possède en O' un point double à tangentes confondues avec O'E. Le plan tangent en A coupe donc la surface suivant une courbe ayant en A un point de rebroussement de tangente AD, ou, plus généralement, un point singulier

3o8 COURS D'ANALYSE

OÙ deux branches de courbe sont tangentes entre elles et à la droite AD. Les deux directions asymptotiques, au point A, sont alors confondues avec cette droite AD.

Exemples. — Dans une surface conique ou cylindrique, la courbure totale est nulle en chaque point A; en effet, le plan tangent à une de ces surfaces en un point A, étant tangent tout le long de la génératrice AD du point A, coupe la surface suivant deux droites confondues avec AD. Cette droite est la direction asymptotique en A. Ainsi la quantité rl — s'- est nulle en tous les points d'une surface conique ou cylindrique. Nous verrons plus tard que cette propriété est caractéristique des surfaces appelées surfaces développa blés.

Dans un tore, le plan tangent perpendiculaire à l'axe touche la surface tout le long d'un cercle C. En un point A de ce cercle la courbure totale est nulle : le plan tangent en A coupe la surface suivant deux circonférences confondues avec C, c'est-à-dire deux courbes tangentes en A. La tangente AD à ce cercle C est la direction asymptotique en A. Le cercle C et son symétrique par rapport au y plan de l'équateur du tore partagent la surface

en deux parties. Sur la première partie qui est opposée à l'axe, la courbure totale est positive; cette partie est marquée {fig. 99) sur la figure par des -|-. Sur la deuxième partie, qui est tournée vers l'axe, la courl)ure totale est négative; cette partie est marquée sur la figure par les signes — .