APPLICATION. PLA.\ I ASGEST AUX SURFACES RÉGLÉES
Quaiul II
ce
tte droite engendre une surface réglée.
Les droites G sont les génératrices de la surface. Soit AB une position de la génératrice, nous nous proposons d'étudier les variations du plan tangent à la surface en un point M qui se déplace sur cette génératrice.
Considérons la section C de la surface par un plan P parallèle au plan des xij et menons la tangente M/ à cette section au point où le plan P rencontre la génératrice AB [fig. 100).
Le plan tangent en M, devant contenir les tangentes à toutes les courbes passant
par M sur la surface, contient les deux droites M; et MA : c'est le plan /MA. Ce plan a pour trace sur le plan des xy la droite Kl' parallèle h M/. Le long de la courbe C, z est constant ; les coordonnées d'un point de cette courbe sont donc exprimées en fonctions de H par les formules
Fi g. loo.
.r = az-{-]i.
hz-^k
où - est constant; et le coeiïicient angulaire m de la tangente M/ à cette courbe est
dy ___ zdb + dk
d.v zda -f- dli
Cette même quantité m est le coeflTicient angulaire de la trace Ai' du plan tangent en M sur le plan des xy.
Quand le point M se déplace le long de la génératrice AB, // garde une valeur constante, ainsi que da, dby dh et dk^ tandis que c varie de — x h -|- ^ • ^^ ^^i* ^^^ ^'* varie avec 3 toujours dans le même sens et prend une fois, et une seule fois, toutes les valeurs possibles de — x à -f- oc. Cela résulte de ce que
dm
dadk — dhdh
dz
zda
dhf
conserve un signe constant quel que soit z.
Le plan tangent, quand le point M décrit la génératrice AB, d'un bout à l'autre, tourne donc toujours dans le même sens
3iO COURS D'ANALYSE
autour de AB et prend une fois et une seule fois toutes les positions possibles.
Cas exceptionnel. — Il peut arriver, exceptionnellement, que m soit indépendant de z. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suflit que l'on ait
(1) fladk — dbdh = 0.
Dans ce cas, le plan tangent est le même en tous les points de la génératrice AB.
189. Classification des surfaces réglées : surfaces gauches et surfaces développables. — Lorsque la condition (ij est remplie pour toutes les génératrices d'une surface réglée, c'est-à-dire est remplie quel que soit u, on dit que la surface est déi>eloppahle.
Si, au contraire, cette condition n'est pas remplie, quel que soit//, on dit que la surface réglée est gauc/te.
D'après cela, pour une surface développable, le plan tangent est le même tout le long de chaque génératrice, comme pour un cône ou un cylindre. Pour une surface gauche, au contraire, le plan tangent varie quand le point de contact se déplace le long d'une génératrice : il peut exister sur la surface gauche des génératrices particulières pour lesquelles la condition (1) est vérifiée, mais ce sont des génératrices exceptionnelles.
Par exemple, la droite
// //. ir
.1' = — .z-{-ii, i/ = ~j- --h ^j-,
engendre, quand // varie, une surface développable ; car on a
donc
(2) dadk-dhdh={) identiquement.
Au contraire, la droite
X = irz 4- // , i/ = HZ -+- li,
APPUCATIOy. PLA.y TASGEM A! X ^1 lilACES REGLEES iii
engendre une surface gauche, car
a = //"", h = u, ïi ■= itf k = II,
donc
,/,, dk — dhdh = [2 II— l; dii^,
expression qui n'est pas nulle quel que soit ii. La génératrice
it=~ est une génératrice exceptionnelle de la surface, le long
de laquelle le plan tangent est le nième. Parmi les surfaces du deuxième ordre, le paraboloïde hyperbolique et l'hyperboloïde h une nappe sont des surfaces réglées gauches.
Rkmauque. — Les surfaces développables ont en tous leurs points leur courbure totale nulle [rt — s'^=0 , car le plan tangent en chacun de leurs points coupe la surface suivant deux droites confondues avec la génératrice de contact, comme dans les cônes et les cylindres.
Les surfaces réglées gauches ont, au contraire, en chacun de leurs points leur courbure totale négative [rt — s- <0), comme il ariive pour l'hyperboloïde à une nappe.
190. Deux surfaces réglées gauches ayant une génératrice commune sont, en général^ tangentes en deux points au plus de cette génératrice ; si elles sont tangentes en plus de deux points, elles se raccordent le long de la génératrice. — Soient une surface engendrée par les droites
.r = rt--h//, ij^hz-\-k,
et une deuxième surface engendrée par les droites
Supposons que ces deux surfaces aient une génératrice commune AB.
Le plan tangent à la première surface, en un point M d'ordonnée z fig. iOO), a pour trace sur le plan des :itj une droite Xt' dont le coelïlcient angulaire est
zdh-\-dk
zda -\- dh
3i2 COURS D' ANALYSE
De même, le plan tangent au même point M à la deuxième surface a une trace de coefïîcient angulaire
zdh^ -\- dk\
Pour que les plans tangents en M aux deux surfaces coïncident, il faut et il suflit que l'on ait m ^=m^ et, par suite,
zdh-^dk zdb^-}-dk^
zda H- dit zda , -\- dit ,
Cette équation étant du deuxième degré en :: a, au plus, deux racines réelles ou imaginaires, à moins qu'elle ne se réduise à une identité; ce dernier cas se présente, si l'équation est vérifiée par plus de deux valeurs de :;.
Le théorème est donc démontré.
191. Application. Hyperboloïde de raccordement. — On se sert de cette propriété, en géométrie descriptive, pour mener le plan tangent en un point ^I à une surface réglée. Pour cela, on
^ construit, comme il suit, un hyperboloïde quia même plan tangent que la surface tout le long de la génératrice du point M. Soient A, B, C trois points de cette génératrice [fig. 101) ; A A' une tangente à la surface au point A, BB' une tangente en B, CC une tangente en C. Considérons l'hyperboloïde engendré par une droite mobile s'appuyant sur les trois droites fixes AA^, BB', CC : cet hyperboloïde a en commun avec la surface la génératrice ABC; il a, de plus, même plan tangent que la surface aux trois points A, B, C. Donc il a même plan tangent que la surface tout le long de ABC. Pour avoir le plan tangent en M à la surface, il suffit alors de mener le plan tangent à l'hyperboloïde en M , c'est-àdire de construire la génératrice rectiligne de l'hyperboloïde du deuxième système MM' : le plan tangent cherché est AMM'.
192. Cas particulier de deux surfaces réglées ayant même plan directeur. — On dit qu'une surface réglée a un plan directeur, quand ses génératrices sont toutes parallèles Ix un même
APPUCATIOy. PLA.\ TAyCEST AUX SURFACES RÉGLÉES 3i3
plan; ce phni so nomme plan (Urectciu'. On a alors le théorème suivant.
Si (Jcit.v surfaces réiilàes gauches, ayant même plan directeur^ ont une i^ènèratvice communCy elles sont tangentes en général en un seul point à distance finie sur cette génératrice : si elles sont tangentes en plus d'un point à distance finie sur la génératrice, elles le sont tout le long de la génératrice.
En efFet, nous pouvons toujours supposer qu'on ait pris comme plan des i/z le plan directeur commun aux deux surfaces. Les équations d'une génératrice de la première surface sont alors
:r = //, ij = ljz-{-k.
et celles d'une génératrice de la deuxième
Dans ce cas, les quantités a et a^ sont identiquement nulles et l'équation
zdh-^dk zdh^-\-dk^ zda -\-d/i ~ zda^-\-dh^ '
qui détermine les - des points de la génératrice commune où les surfaces se touchent, se réduit à l'équation du premier degré
zdh 4- dk zdh^ -h dk^ dîi ~~ dh^ '
ce qui démontre le théorème.
193. Point central. Ligne de striction. Paramètre de distribution. — Dans une surface réglée on appelle point central sur une génératrice le pied de la perpendiculaire commune à cette génératrice et à la génératrice infiniment voisine.
Le lieu des points centraux forme une ligne située sur la surface et appelée ligne de striction.
Pour étudier la distribution des plans tangents le long d'une génératrice, prenons cette génératrice pour axe O", pour origine le point central O, pour axe des .r la perpendiculaire commune OA à la génératrice O- et à la génératrice infiniment voi-
sine AB [fig. 102). La droite AB étant perpendiculaire à O.r, sa projection AR sur le plan xOz a pour équation
et sa projection sur le plan yOz
^ = -tanga,
a étant l'angle -de AB avec 0-. Dans ces équations, o et a désignent donc la distance de deux génératrices infiniment voisines, Oz et AB, et l'angle de ces génératrices. Ce sont deux quantités infiniment petites. On peut toujours choisir le sens positif de 0// de telle laçon que S et a soient positifs.
Si l'on coupe la surface par un plan (^, parallèle au plan des .r//, rencontrant 03 et AB aux points M et M', le plan tangent en M est déterminé par la génératrice Oz et par la tangente en M à la courbe de section. Cette tangente est la droite MM', puisque M' est infiniment voisin de M. La trace horizontale 0/ du plan tangent en M est donc parallèle à MM' : son coeiïicient angulaire est
Fi g. 102.
If et d' étant les coordonnées du point M'. Or, ce point étant sur AB, ses coordonnées vérifient les équations
d'oi
ou
tanga
Les quantités a et o étant innniment petites, le rapport —
tang
1 V !• V ^ tanga a la même limite que—, car 2 tend vers 1. Si donc on pose
insr a
A==lim — > a
APPUCATioy. PLA.\ y.i.voA.vy alx surfaces réglées 315 on a :
Ce coedîcient k s'appelle le paramètre de distribution lo long de 0-.
Surfaces gauches. — Si nous supposons que o et a sont des infiniment petits du même ordre, k est fini et différent de zéro. Le plan tangent en M varie, quand le point M décrit la génératrice; la surface est gauche. Au point central 0,
le plan tangent se confond avec zOa\
Quand le point M va de O ii l'infini positif sur O^, 3 varie de 0 à -f- X , m également; le plan tangent tourne donc autour de O^ depuis la position .lOz jusqu'à f/Oz. Quand M va de O à l'infini négatif sur Oz, avarie de 0 à — oo , m également ; le plan tangent tourne autour de O" en sens contraire depuis .vOz jusqu'à t/'Oz,
Surfaces développables. — 11 peut se faire que o soit infiniment petit d'ordre supérieur à a. Alors le paramètre de distribution k
/i = lim — , a
est égal à zéro. Dans ce cas, on a, pour z différent de zéro,
quel que soit 3 ; le plan tangent est le même tout le long de la génératrice Oz. Si ce fait a lieu pour toutes les génératrices de la surface, celle-ci est dèi>eloppable.
L'exemple le plus simple est un cône : alors o est rigoureusement nul, car deux génératrices quelconques se rencontrent.
11 peut se faire aussi que a soit infiniment petit d'ordre supérieur à 5 : alors Â-=x , et on a
quel que soit z. Le plan tangent est encore le même tout le long de 0-. Ainsi, dans un cylindre, a est rigoureusement nul, car les génératrices sont toutes parallèles : donc k = oo ,
3i6 COURS D'ANALYSE
IV. - MAXIMUM OU MINIMUM D'UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES
