Recherche du maximum ou du minimum. — Soit

une fonction des deux variables indépendantes :v et y, on dit que cette fonction est maximum pour r = a^i/ == b, quand, jjour toutes les s>aleurs de x et y voisines de a et h respecti^>ement, on a

De même, la fonction est minimum pour r ==«, y=zb, quand, pour toutes les {>aleurs de .v et y ^>oisines de a et h on a

Cherchons les conditions du maximum.

Pour donner à x et y des valeurs voisines de a et b, nous poserons :

x=a-{-x', y=zb-{-y',

où x' et y' sont assujettis à rester i'oisins de zéro. On doit avoir

pour toutes les {'aleurs de x', y' voisines de zéro. Développons le premier mem}3re par la formule de Taylor, en appelant/), </, /•, s, / les valeurs que prennent pour x^=a,y=:b, les dérivées partielles premières et deuxièmes de /"(.r, y). Nous avons

(1) /•(« + ./•', b-\-y')^f{a, b)=px'^rjy'

-h-^(r.r''-^2sx'y'-hty'-')-i-

Pour qu'il y ait un maximum, (piand x = a,y=b, il faut et il suHit que cette dillerence (1) soit négative pour toutes les valeurs de y et y' voisines de zéro et qu'elle s'annule seulement pour x' = 0, //' = (). Pour plus de symétrie, posons

x' = .0 ces C5, ?/' = p sin C5,

M i.\fM(M OC Mixr.MiM d'i.m: roscTioy di: dfjx vaiu.hu.es 317

'^ étant un angle quelconque et p une quantité positive ou négative assujettie à rester très petite en valeur absolue. La difï'érence (1) prend alors la forme •

(2) p [p cos 'f + </ sin 'j) H- -;j- p"^ (/• COS" 'f -}- 2 S cos cp sin cp -f^ ^ sin^ '^) +

Pour qu'elle puisse conserver un signe constant pour toutes les valeurs de 0 voisines de zéro, et pour toutes les valeurs de z>, il faut que y^ et q soient nuls. Car, siy^ et </ n'étaient pas nuls tous deux, /; cos cp -|- </ sin 'j ne serait pas nul, puisque 'j est quelconque, et, pour de petites valeurs de c, le terme du premier degré en p donnerait son signe à l'expression '2' : cette expression changerait donc de signe avec p.

Ainsi p et q doivent être nuls. Supposons cette condition remplie et admettons que /•. s, t ne soient pas tous nuls, nous voyons qu'alors la différence ^2] se met sous la. forme

— - p- (/• COS" cp -|- 2 A- sin '^ cos '^ -\- t sin'- 'f ) + ,

dans laquelle le terme en p- donne son signe pour les petites valeurs de p. Pour qu'il y ait maximum pour .r = «, î^ = ^, il fatit que le trinôme

/• cos'- cp -|- 2 s sin ',p cos cp -}- / sin- cp,

soit négatif ^onv toutes les valeurs decp qui ne l'annulent pas. Il faut donc, en général, que le trinôme ait ses racines imaginaires ou égales et que son premier terme soit négatif.

Laissons de côté le cas des racines égales qui est un cas douteux. Alors il faut

avec

/•<0, ou /<0;

ces deux dernières conditions s'entrainent évidemment l'une l'autre, car rt est positif. Les conditions ainsi trouvées

^Max.^ p = 0, ry = 0, rt — s'>0, /•<0ou/<0,

3i8 COURS D'ANALYSE

comme nécessaires, sont évidemment sulïisantes pour l'existence d'un maximum; car si elles sont remplies la différence

est négative pour toutes les valeurs de :v' et y' voisines de zéro. On trouve de même que les conditions nécessaires et suflisantes pour l'existence d'un minimum sont

(Min.) 7^ = 0, 7 = 0, /•/ — *-'>0, /•>0 ou ^>0.