Interprétation géométrique. — Considérons la surface

où l'axe des z est supposé vertical. Chercher les maxima et minima de ' revient à chercher sur la surface les points qui sont plus haut ou plus bas que les points infiniment voisins. Soit a, Ij, un système de ~7 valeurs de .r et î/ donnant un maximum. Le ^ point A correspondant de la surface est plus haut que les points infiniment voisins (fii(. 103).' Les conditions

Fi g. io3.

expriment qu'en ce point A le plan tangent est horizontal, car ce plan ayant en général pour équation

se réduit actuellement à

La condition

exprime, qu'au point A, la surface a une courbure totale posithe^ c'est-à-dire qu'elle est, au voisinage de A, d'un même côté du plan tangent. Knfin

signifie qu'elle est, au voisinage de A,]au-dessous du"plan tangent

MAXIMLM OU MINIMUM D'UNE FONCTION DE DEUX VAHIAULES 3i9

en A. Toutes ces conditions sont évidentes a priori par la géométrie.

196. IvviMPLE. — Soit h chercher les maxima et minima de la fonction

Calculons p, q, /*, s, t :

Commençons par chercher les valeurs de j: et t/ qui annulent p et fj : nous aurons à résoudre le système

qui donne, par soustraction,

Prenons d'abord // — .r = 0 ; nous trouverons, en portant dans les deux équations,

(II) .r = 0, /y = 0.

prenons ensuite r -{- t/ — 1=0, nous aurons de même deux systèmes de solutions

{III) x = 0, y = l.

(IV) .r = l, y = 0.

On a ainsi quatre couples de valeurs de r et //, annulant/; et q. Il faut maintenant voir, successivement, quel signe chacun de ces couples de valeurs fait prendre à /•/ — s^.

On a

Le couple (I), x=-7^,y=-T^, donne

'*'"■* ""ÏT 9 ~ 3'

donc

à ce couple correspond un minimum de z

Les autres couples (II), (III), (IV) donnent tous

ils ne correspondent donc ni à un maximum ni à un minimum.

197. Remarque sur le cas rt — s^ = 0. — Lorsque, pour x=ia, y ^=^by on a

sans que r^ Sy t soient nuls tous trois, nous avons dit qu'il y a doute.

Cela tient à ce que, dans l'expression de la différence

le trinôme

/• cos- » H- 2 s cos 'i sin es + / sin^ '^,

est alors un cavrè parfait. Ce trinôme conserve donc un signe constant, excepté pour la valeur cp^^ de cp qui l'annule. Si donc on attribue à cp cette valeur spéciale, le signe de la différence dépend des termes suivants du développement, termes qu'il laudra étudier dans chacjue cas particulier.

Exemple I. — Prenons, par exemple, la fonction

MAXI^^'^r or misimum d'iwe fonction de deux variables 3a i Actuellement,

Donc/; et q s'annulent pour x = 1, ?/ = 1 ; la valeur correspondante de la fonction est

De plus, en ce point .r = 1, ?/ = 1,

/•/ — 6-=rO, /•>0.

Nous allons voir que la fonction n'est pas minimum. Pour l'étudier dans le voisinage des valeurs 1 et 1, employons la méthode générale; faisons

x' = p cos 'j, y' = 0 sin c5,

Nous avons

= p'^(cos 'J — sin cp)- -|- p^sin^cp.

Tant que '^ n'a pas une valeur particulière telle que cos cp — sincp:=:0, tang<p = l,

la différence esl positwe, pour de petites valeurs de p, car le premier terme donne son signe. Mais, pour tang 3 = 1, la différence prend le signe du terme p^sin'^cp : elle change de signe avec p et, par suite, ne conserve plus un signe constant.

Donc, dans le voisinage de j:' = 1, y = 1, la différence

ne conserve pas un signe constant quels que soient '^ et p : il nV a ni maximum ni minimum en ce point.