I. — FONCTIONS PRIMITIVES. — INTÉGRALES INDÉFINIES

20. Fonction primitive. — Xous venons de voir comment on calcule la difï'érentielle d'une fonction d'une variable indépendante .r. On peut se poser le problème inverse de trouver une fonction d'une ^^ariable indépendante x ayant une différentielle donnée f'.v) dx.

Remarquons d'abord que, si l'on a trouvé une fonction es (r) répondant à la question, c'est-à-dire telle que

d'^ [x) = f[x) dxy ou encore

la fonction la plus générale répondant à la question est

C désignant une constante arbitraire. Cela résulte de ce que deux fonctions ayant même dérivée ne diffèrent que par une constante.

La fonction la plus générale »(.r)-}-C admettant une différentielle donnée f[x) dx s'appelle fonction primitive de /'(.r) ou encore intégrale indéfinie de la différentielle f[x) dx.

Dans des cas simples, on aperçoit immédiatement cette inté-

x^ grale indéfinie. Ainsi l'intégrale indéfinie de x dx est^r-H-C;

celle de x-ilr est ~ -f- C ; celle de cosxdx est sin j^ + C, etc..

21. Existence de Vintègrale indéfinie, — Soiif{jc)dx une différentielle donnée, nous allons montrer qu'il existe toujours une fonction » (r) ayant pour difFérentielle f[x) dx ; la fonction la

plus générale ayant pour différentielle f[x') dx ou l'intégrale indéfinie de f{.v) dx est alors cp (.r) -J- C.

(^)nstruisons la courbe ayant pour équation en -coordonnées rectangulaires (fig. 8)

Considérons un arc continu de cette courbe, une ordonnée fixe Mj,I\ d'abscisse a et une ordonnée variable MP d'abscisse .r. L'aire A du segment P^^^o ^^^ est évidemment une fonction de .r, car elle est déterminée dès que x est connu :

Nous allons démontrer que cette aire a précisément pour différentielle f[x) dx,

dX=f{x)dx.

Kn effet, quand x croît de PP' = A.r, l'ordonnée MP=y prend une nouvelle pusitiou:

y + Ay = M'l>' et l'aire croit d'une quantité AA égale i« PMM'P'.

loyrrroys primitives, istégrales indéfinies 3i

Menons par M et M' des panillMes MU et M'K à l'axe Or : raccroissement AA est évidemment compris entre les deux rectangles PMIIP' et PKM'F : on a donc

;/A.r < AA < f// + A//) A.r, et, en divisant par A.r que nous supposons positif,

Quand A.r tend vers zéro, il en est de même de A// ; le rapport —^ étant compris entre // et une quantité qui tend vers y, ij.r

tend lui-même vers ij. La dérivée de A par rapport à x est donc y, et l'on a

puisque ?/ =zfÇr).

On a donc ainsi défini graphiquement une fonction A = z> (.r ayant pour différentielle f{.v)dx. La fonction la plus générale admettant cette différentielle est cp(.r)-|-C. Ce fait se conclut d'ailleurs de la fiofure, car le choix de l'ordonnée initiale M. P„

est arbitraire ; si on prend une autre ordonnée initiale M'^^P'o et si on appelle A' l'aire P'o Mq MP, cette aire A' est encore une fonction de x ayant pour diff'érentielle /'(j") ^.r; elle est égale à A plus la valeur algébrique de l'aire P'^j M'^ M^, P^^ qui est une constante.

22- Notation. — Nous avons vu (n" 7) que la valeur algébrique de l'aire l^M^^MP est la limite de la somme des rectangles inscrits:

A = lim [>, — a) f[a) -+- [x^ — .r,) f [x^ -f- ...

-ir [x— x„,)f{x„,%

limite que l'on écrit symboliquement

ff[x)dx.

3a COURS D'ANALYSE

D'après cela, pour désigner la fonction la plus générale ayant pour aiirérentielle f [:r)dxy c'est-à-dire l'intégrale indéfinie de f[.r) (Lv, on emploie la notation j f[jc) dx. L'on a donc, en appelant ^[x) une fonction particulière ayant pour différentielle /'(.r) dx,

ffix)dx=o{x) + C,

C désignant une constante arbitraire.

Quand on détermine ainsi l'intégrale indéfinie d'une différentielle donnée f[x) dx, on dit qu'on intègre cette différentielle ; on dit également qu'on fait une quadrature, pour rappeler que cette opération revient à déterminer l'aire d'un segment de courbe.

On peut envisager le résultat ainsi obtenu à deux points de vue : l** Si l'on donne la différentielle /"(j:^) dx et qu'on ne sache pas trouver analytiquementla fonction admettant cette expression pour différentielle, on peut la définir graphiquement comme l'aire du segment de courbe y^f(,v) ; 2** si l'on donne une courbe i/=:if(x), toutes les fois qu'on sait trouver une foncti(»n cp (x) admettant pour différentielle f[x) dx, on sait calculer introl'aire d'un segment de cette courbe.

23. Tableau d'intégrales indéfinies usuelles, — Dans le tableau suivant, n désigne une constante quelconque, positive ou négative, dilféreutede — 1; C désigne la constante arbitraire duite par l'intégration.

•'J / .Tr=r = »''■*>" ^' H- C-.

J Vi-

dx y^4,| =arctang.r4-C,

FONCTIOys PRIMITIVES. INTEGRALES INDÉFINIES 33

On ramène immédiatement à ces intégrales les suivantes dans lesquelles k est une constante positive, racine carrée arithmétique de A-^

— - ^=: arc sin \- L,

~? =-T- arctang -^ + C,

Si, dans le second membre de (9) on chasse le dénominateur A sous le signe log, on peut écrire ce second membre :

log [x + sjx^ ± A^) — log A 4- C ;

le terme ^ — log A s'ajoute à la constante C ; on peut donc écrire en désignant par l une constante positive ou négative, l = ±k^ :

APPELL. Analyse.

formule facile à vérifier par la différentiation (voir le numéro 13). On peut facilement ramener à ces intégrales types les suivantes :

dx r (hr

dx

ax^ -h bx

où «, hy 6' sont des constantes, ?i un exposant différent de — 1. En effet, en écrivant d'abord

C i^ax 4- bfdx = — f{ax + bf'd [ax + b)

On voit que, au facteur— près, cette intégrale rentre dans le

type (1) où X serait remplacé par ax -\-b; donc

(12) J{aa- + h)"d.,- = -i -j;^^ («^ + *)" ^ ' + C,

formule qu'on vérifie immédiatement par différentiation. Prenons maintenant le cas de n= — 1 ; en écrivant alors

r dx 1 Ç

J ax -\- b a J

d (ax -\- b) ax -]- b

on voit que, au facteur — près, cette intégrale rentre dans le type (2) où X serait remplacé par ax-\-bf donc

Pour évaluer la deuxième intégrale, écrivons, en décomposant le trinôme ax^-\-bx-\-c en carrés

/dx 1 r dx

ax^ H- bx -h r al . b , c

^ a a dx

2a ) 4 rt*

Vf

FOyCTIOAS PRIMITIVES. INTÉGRALES INDÉFINIES 35

Trois cas sont à distinguer suivant que b^ — ^a c est négatif, positif ou nul.

Si // — ^ac est négatif, on peut poser

4 ac — b^ ,, , ^ I k ac — b'^ A.'", k.

et l'intégrale peut s'écrire

intégrale du type (8) où x est remplacé par x -\- -^ — . On a donc alors

i dx 1 ''"^ 2 a

J ax^ 4- Z'jr -\-c a k ^ A-

Si P

V^ 4rtc — Z»^ "V^ 4 «6- — b' — 4 rtc est positif, posons

4a^ ="' "-y 4a^ et l'intégrale peut s'écrire

dx

ax'~ -[- bx -f- c a

intégrale du type (10) où x est remplacé par J^-f-^r — . Donc

É^JT i - 2 a ^,

5 ï =^ ri — r lt>S i r^-

Dans ce cas, les racines du ivm6mea.T^-hhx-i-c sont réelles : si on les appelle y et x" on voit qu'elles sont égales à

* • A- et ' '■■

on peut donc écrire alors

Enfin, si Z»^ — 4^c est nul, on a

Passons maintenant à l'intégrale

dx

\^ax^ H- bx + 6'

Deux cas sont à distinguer suivant le signe de a.

Supposons d'abord a positif. Nous mettrons, devant le radical, y/a en facteur et nous décomposerons encore le trinôme en carrés ; il vient ainsi l'intégrale :

1 /> dx

ko} En récrivant

FoycTioys primitives, intégrales indéfinies 3;

on voit qu'elle rentre dans le type (il) où on remplace x

par r -}--;; — et l par -, — 3 . Donc on a dans ce cas, a >0,

^ la 4 «

^ ' I \/ax'' -\- bx + c

ce qu'on peut encore écrire

bx

Soit enfin a négatif. Nous mettrons alors y/ — a en facteur et nous écrirons

1 /> dx

La quantité b- — 4 «c- est nécessairement positive, car, si elle était négative, la quantité sous le radical serait négative quelque soit X et rintégrale serait imaginaire.

Nous pouvons alors poser

A^ — 4 ac

elle rentre dans le type (7) où .r est remplacé par ^r-f-^.Donc, dans ce cas, a < 0, on a :

K'-'J I I „ — ; / arc sin -, 1-^

Sax^-\-bx -\-c \ — a k

ou encore

/dx 1.2 ax + b --- = -7t= arc sin -h^.

\/a.v^ H- Ù.V + c V^— a si h^ — ^ ac

24. Intégrale d'une somme de différentielles. — Intégrale de kf(x)dx.

Soient

/; {x) dx, f^ {x) dx, f^ (.r) dx

plusieurs différentielles ; l'intégrale indéfinie de leur somme

/[/;w+/;w+/,(.r)]rf^

est égale à la somme des intégrales indéfinies

//; W dr +//; (.r) dx +jf, (.r) d.v ;

en effet, ces deux expressions ont toutes les deux pour différentielle

f^[x)dx^f,[x)dx-^f,[x)dx.

On voit de même que, A* désignant une constante, on a JX/(.r)./.r=Aj/'(.r)^.r,

car les deux membres ont la même diflorentiolle A' /"(.r) É^.r.

Par exemple, soit à trouver l'intégrale indéfinie d'un polynôme

^[ax^^bx-\-c) dx

rOXCTIOXS PRIMITIVES. IXTÉGRALES INDÉFINIES ^

a, h, c étant constants ; cette intégrale est égale à 1 ax-dx -{- 1 bxdx -\- j cdx

c'est-à-dire à

ax^ hx' ^

ex

2^. Intégration par parties. — Soient u et i> deux fonctions de r, on a

udv -\- ç'dit = d [uv)y d'où en prenant les intégrales indéfinies des deux membres,

I ud9 -\- I vdu = in> -{- C

ou encore

j ud^' = liif — I i>di/y

où il est inutile d'écrire explicitement une constante arbitraire dans un des membres, car chaque intégrale indéfinie n'est déterminée qu'à une constante près.

Quand on peut mettre une différentielle donnée sous la forme Il di>j on voit que la relation ci-dessus permet de ramener la recherche de fitdi> à celle de f{*du qui peut être plus simple. On a ainsi ce qu'on appelle la formule d'intégration par parties.

Exemple I. — Soit

I X log.z- dx :

cette intégrale est de la forme fiidç si l'on fait

// = log X, ^ = -9- -^ ^

on a donc

/ a: log xdx =-^x^ log x — -^j- / x'd log x.

4o COURS D'ANALYSE

La deuxième intégrale est

jx'^ = jxd.v= -^x' + C.

ix lo^xJx = -Y '^^ log .r -. j:^-^ C.

Exemple II. — Soit de même

I arc sin xdx; si on applique la formule précédente en faisant

u = arc sin x, if = x, on voit que cette intégrale est

/xdx

xdx

OU enfin

X arc sin x-\-sJS. — x^ -f- C .

Exemple III. — Soit à calculer l'intégrale

où rt et a sont des constantes.

Nous appliquerons la formule d'intégration par parties, en faisant

n = yj ax^ + 3^ > P = X.

Nous aurons :

=. dx.

Dans la deuxième intégrale, remplaçons ^.r* par fl.r*-ha — a, nous aurons identiquement

Vax*-i-aL v/«.*'*

Foyrrioys primitives. i.\ii:gr.ii.es indéfinies /ii d'où

/ /rt.r'^-l-a(/.r = ./• \/<:x' + a — / ^ax^ -\-ndx

fl^'^H-a

En faisant passer l'intégrale | V^rt.r^+a r/.r dans le premier membre et en divisant par 2, on a enfin

(18) f\/^:^zçidx~x^-Zc^+^+^ C--£;L=^.

J ' 'ij^a.^+.

L'intégrale demandée est ainsi ramenée à l'intégrale

dx

^ ax^ -h a

qui rentre dans les types connus (16) ou (17) suivant le signe de a.

Remarque, — L'intégrale

J y ax^ -\- ùx -\- c dx

se ramène immédiatement à la précédente. Il suffit pour cela de décomposer en carrés le trinôme placé sous le radical :

ax^ -\- bx -\- c = a \x -\- —^ — 1 — ■ -, .

\ la / 4 rt

L'intégrale s'écrit alors

elle rentre dans le type (i8) où x est remplacé par x -\- tj- et a

h'^ — ^ac par .

Donc

dx x^ -h bx -\- c

Cette formule ramène l'intégrale cherchée à une autre d'un type connu (16) ou (17).