Equation de V enveloppe. — Soit

l'équation d'une courbe plane C contenant un paramètre k. Quand A varie d'une manière continue, cette courbe se déplace d'une manière continue.

On dit qu'elle admet une (?/zç'e/o/^y>)(?, quand il existe une courbe E à laquelle les courbes C sont toutes tangentes. Les courbes C sont les eiweloppées.

Soit [fig. 104), M '^v,y) un des points de l'enveloppe et

Fig. 104.

l'équation de l'enveloppée C qui touche l'enveloppe E en ce point. Le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppée est donné par

où d.v et di/ sont les projections d'un élément d'arc MM' de l'enveloppée.

Pour avoir le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe au même point, remarquons que, le long de l'enveloppe, les coordonnées .r et u du point de contact M sont fonctions de X,

car le point de conclu -t M est déterminé quand À est donné. Ces fonctions de ). vérifient identiquement la relation

Quand on fait croître X de sa différentielle d\, les coordonnées du point de contact M croissent de leurs différentielles d^x et d\ij, et, comme f{j:,y,\) reste nulle, sa différentielle l'est; on a donc

Géométriquement, d^Xyd^y sont les projections d'un élément d'arc MMj de l'enveloppe E. Le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppe en M étant égal à celui de la tangente à l'enveloppée, on doit avoir

dy d^y

dx d^x Les équations (1) et (2) donnent alors :

Donc les coordonnées du point de contact M vérifient les deux relations

(3) Ar,y,/)=o, -|-=o.

En éliminant A entre ces deux équations, on a l'équation de l'enveloppe E, quand cette enveloppe existe.

Réciproquement, soit E la courbe dont l'équation est obtenue en éliminant A entre les deux relations (3), en tout point .r, y de cette courbe, qui n'est pas un point singulier de l'enveloppée correspondante C, la tangente est la même à E et à C. En effet,

comme, au point considéré -(-=0, les équations (1) et (2) donnant les coefficients angulaires des tangentes aux deux courbes C et E au point .r, y sont

ENVELOPPE D'UNE FAMILLE DE COURUES PLANES 3ij

Si — ^ et ^ ne sont pas nuls à la fois , c'est-à-dire si le point (.r, //) n'est pas un point singulier de l'enveloppée

ce qui démontre le théorème.

En résumé, la courbe obtenue en éliminant A entre les deux relations (3) est ou bien l'enveloppe des courbes

/■(.r,y,).)=0, OU le lieu de leurs points singuliers.

Remarque. — Eliminer ). entre les deux équations

revient h exprimer que l'équation f(.v,j/,'/?=0, en A, admet une racine double.

199. Le point de contact de Venveloppèe C avec Fenveloppe E est la limite d'un des points d'intersection de C avec une enveloppée C infiniment voisine. — En effet, l'équation de C est

celle d'une enveloppée voisine C

Les points d'intersection de ces deux courbes sont donnés par le système des deux équations (C) et (C), ou par le système équivalent

/■(.r,y,/ + A).)-/-Cr,y,/.) ,, A/. ~

Quand A), tend vers zéro, ce système devient précisément le sys-

tènie (3) qui définit les points de contact de l'enveloppée avec Tenveloppe E. Le théorème est donc démontré.

200. Exemple I. Enveloppe d'un cercle de rayon constant R dont le centre décrit une courbe donnée. — Soient a et b les

coordonnées du centre P du cercle (//j;' . 105) ; ce point devant décrire une courl)e donnée ïIIF, a et b sont des fonctions données d'un paramètre A

L'équation du cercle mobile est alors

R étant constant. Pour avoir les points de contact M et M' du cercle avec l'enveloppe, il faut associer à l'équation du cercle l'équation obtenue en dérivant par rapport à A

. (la , ^ db

clK

ifk

Si, dans cette équation, on regarde .r et y comme des coordonnées courantes, elle représente une droite passant par le point \*[a,b) et normale à la courbe IIIF lieu du point P. Les points do contact du cercle avec l'enveloppe sont donc aux extrémités du diamètre MPM' normal à la courbe lieu des centres. Les j)oints de l'enveloppe s'obtiennent encore en portant sur la normale en P deux longueurs égales à R