PM = PM' = R

Les courbes ainsi obtenues s'appellent courbés parallèles à la courbe donnée Illi' : les tangentes à ces courbes en M et M' étant tangentes au cercle sont normales au* diamètre MPM' et, par suite, parallèles à la tangente en P à la courbe donnée IIIF.

Gèomètriquenient, si P' est une position du centre voisine de P, les points communs aux deux cercles de centres P et P' et de m^me rayon, sont sur la perpendiculaire à PP' en son milieu.

EyvELOPP/c i) r.\i: famili.e de courbes planes 32-

Quand P hiid \t rs P, PP^ devient tangent h la courbe HIT et la perpendiculaire au milieu de PP' devient la normale en P à cette courbe. Les points de contact du cercle avec son enveloppe sont donc sur cette normale, comme nous l'a montré le calcul.

201. Kxi-MPLE 11. — Dans l'exemple précédent, nous avons trouve iiiir Ncritable enveloppe. Il peut se faire, comme nous l'avons dit, que la règle indiquée fournisse des lieux de points singuliers. Kn voici un exemple élémentaire. Soit à trouver Tenveloppe des courbes

D'après la règle, il faut éliminer A entre cette équation et la dérivée par rapport à â

Fig. io6.

L'élimination est immédiate et donne comme enveloppe

équation qui se décompose en

et qui représente l'axe Oy avec les deux parallèles AA^ et BB', à l'unité de distance de cet axe. Construisons les courbes C. Nous voyons que leur équation se déduit de celle de la courbe

en changeant ?/ en 7/ — X. Les courbes C s'obtiennent donc en faisant glisser la courbe (6) parallèlement à elle-mé4ne le long de O//. Cette courbe (6) a la forme indiquée [fi^. 106), avec un point double à l'origine O et deux sommets en A et B. Quand on la déplace le long de 0/y, elle a bien pour enveloppe les droites AA' et BB^; mais elle n'a pas pour enveloppe l'axe Oi/ trouvé dans le calcul. Cet axe est le lieu des points doubles des enveloppées.

3i8 COURS D'ANALYSE