II. — ENVELOPPE D'UNE FAMILLE DE COURBES DANS L'ESPACE
202. Condition pour qu'il existe une enveloppe. Equation de Venveloppe. — Soit, dans l'espace, une courbe définie par deux équations simultanées :
dépendant d'un paramètre 7.. Quand on fait varier )s d'une manière continue, la courbe C se déplace d'une manière continue; on peut alors se demander si les diverses positions de la courbe C ont une enveloppe, c'est-à-dire s'il existe une courbe E à laquelle les courbes C soient toutes tangentes. Nous allons voir que cette enveloppe n'existe pas, en général; pour qu'elle existe, il faut qu'une certaine condition soit remplie.
Supposons que l'enveloppe E existe. Soit M (.r, ?/, -) un point de contact d'une courbe C avec l'enveloppe. Les coordonnées d'un point quelconque de C sont des fonctions d'un paramètre u vérifiant identiquement les deux équations (C), où), a une valeur constante donnée. Quand ii varie, les fonctions fÇr, ?/, ^, X) et ç (j", //, z, )») restent nulles, leurs différentielles sont donc nulles, et on a
djc dx
dy-\-
du 1
Ces équations définissent les projections c^.r, dy, dz d'un élément
d'arc infiniment petit MM' de la courbe C [fig. 104) ; elles donnent
, dii dz ,11 1 • 1
pour les rapports -j-- , -7— un système de valeurs bien déterminées,
tant que Ton n'a pas
Oj-
de
- Oy
iy
ENVELOPPE D'USE FAMILLE DE COURBES DANS L'ESPACE Sag
Si ces dermères conditions étaient remplies, les équations (1) se réduiraient à une seule, le point correspondant ût, y, z serait ce que l'on appelle if/i point singulier de la courbe C. Nous supposerons que le point M n'est pas un point singulier, les
rapports -j- et -j^ sont alors déterminés et les équations de la
tangente en M à la courbe C sont
dx dij dz
Cherchons, maintenant, les projections ^^.r, r/,//, f/,- d'un élémentd'arc infiniment petit MM, de l'enveloppe E. Le long de l'enveloppe, les coordonnées jc, i/, z d'un point de E sont fonctions de)v, car, pour chaque valeur de )., il existe, sur l'enveloppe, un point de contact avec l'enveloppée C correspondante; soient
•* — Vi i/v -> y — ^2 v\ 1 ^ — 1^3 v^j '
Ces fonctions de A vérifient identiquement les deux équations
Les premiers membres de ces équations restant nuls quand À varie, leurs différentielles sont nulles. On a donc, en désignant comme plus haut, par </i.r, d^y^d^z, les différentielles de x,y,z regardées comme fonctions de ).,
Les projections de l'élément d'arc infiniment petit MM, vérifient ces deux relations. La tangente en M à l'enveloppe E a pour équations
33o COURS D'ANALYSE
Pour que cette tangente soit la même que la tangente à la courbe C, il Tant et il suffit que l'on ait
^•^^ d.v " <// ~" dz
en appelant k la valeur commune des rapports. De ces équations (3) on tire (l^.^•, d^y^ d^ z et, en portant dans (2), on a
Mais, d'après les relations (1), ces équations se réduisent à
cU ox
Donc, si les courbes C ont une enveloppe, les coordonnées .r, î/, z d'un point de cette enveloppe regardées comme fonctions de )., doivent vérifier les quatre équations simultanées
Il faut, par suite, que les valeurs de x^y^z, en fonction de X, tirées de trois de ces équations, vérifient identiquement la quatrième, quel que soit \.
Si cette condition n'est pas remplie, l'enveloppe n'existe pas.
Si elle est remplie, soient
les valeurs de .r, //, -, en fonction de X, tirées de ces équations (4). La courbe définie par les relations (5) est, ou bien l'enveloppe des courbes C, ou le lieu des points singuliers de ces courbes. En effet, appelons d^.v^ d^y^ d^z les différentielles des fonctions Xy y, " de \ définies par les relations (5) ; ces fonctions rendent identiquement nulles les expressions /'(.r,//, r, X) et cp (.r, //, -, ).) ; elles
FXVELOPPE D'USE FAMILLE DE COURBES DASS L'ESPACE 33i reiulciil (loiu- nulles leurs difTérentielles et on a les deux équations
O.r * 0// '-^ Os * Oâ
O.r ^ 0/y **^ Or * Oa
^lais, comme les valeurs (5) de .r, //, 3 annulent, par hypo-
thèse, -^ et — ^, on a
Oa Oa
\ O.r ^ 0// '-^ Or *
Les relations déterminent les rapports -^ , —~- si les deri-
vees partielles -r^- , -^- , -r^ ne sont pas proportionnelles a
-r-^, ^— -, -— ^ , c est-a-dire si ce point .i\ u,z considère n est O.r 0// ' O3 ^ *^
pas un point singulier de la courbe C. Comme ces relations (6 sont identiques aux relations (1) qui définissent les rapports
-jr— , -7— pour la courbe C, on voit que la courbe (5) est tangente
à la courbe C, à condition que le point .r, ?/, z défini par les rela* tions (5) ne soit pas un point singulier de C.
203. Exemple. — Un cas simple où les équations (5) se réduisent à trois est le suivant. Supposons qu'une des équations des courbes mobiles ne contienne pas A, par exemple la première. Ces deux équations sont alors
les courbes mobiles s'obtiennent en coupant une surface fixe /'(.r, ?/, z) = 0, par une surface mobile o [x, y, c, )v) = 0, dépendant
d'un paramètre. Comme actuellement -A- est identiquement nulle,
les équations (4) se réduisent à trois
Ha COURS D'ANALYSE
On pourra, en général, tirer, de ces équations, .r, //, z en fonctions de ).
la courbe ainsi définie, si elle est réelle, sera ou bien l'enveloppe des courbes considérées ou le lieu de leurs points singuliers.
Prenons, par exemple, un hyperboloïde à une nappe de révo lution autour de 0^
(8) j^!+yl 4 i=o,
et, sur cet hyperboloïde, les courbes C définies par l'intersection de la surface avec les plans verticaux
■9) X cos AH-?/ sin }. — R == 0,
où R est constant et où A est un paramètre variable. Ces plans, étant à une distance constante R de l'origine, sont les plans tangents il un cylindre de révolution de rayon R ayant Oz pour axe. Pour avoir un point de l'enveloppe de ces courbes C, il faut joindre, aux deux équations (8) et (9), la suivante
'10) — .r sin ). -f-// cosX = 0,
obtenue en dérivant (9) par rapport à A. Résolvant les équations (8), (9) et*(10) par rapport h .r, //, 3, on a immédiatement
(E) ^ = RcosÀ, y = Rûn\ ^ = ±-^V/lV — a%
relations qui définissent un point de l'enveloppe. Pour que - soit réel, il faut R^«. Quand R est supérieur à a, l'enveloppe se compose de deux parallèles de l'hyperboloïde, ce qui est évident géométriquement. Quand R==a, les équations (K) donnent le cercle de gorge, qui n'est plus une véritable enveloppe des courbes C, mais le lieu de leurs points singuliers. En effet, dans ce cas, les plans (9) sont les plans tangents à l'hyperboloïde le long du cercle de gorge; ils coupent l'hyperboloïde suivant des courbes C formées de deux génératrices se coupant sur le cercle de gorge; ce dernier est alors, non renveloppe des courbes C, mais le lieu de leurs points doubles.
ESVELOPPE D'I'SE FAMILLE DE COCRIiES DANS L'ESPACE 33'i
204. Application à une droite mobile dépendant d'un paramètre. Surfaces gauches. Surfaces développables. Arête de rebroussement. — Nous avons déjà donné la classification des sui facos réglées en surfaces gauches et surfaces déçeloppables. Xous allons retrouver ici cette classification comme application de la théorie des enveloppes dans l'espace.
Soit une droite mobile ayant pour équations
(D) x = a.z^h, jj = l,z-\-k,
où a, b, h et k sont des fonctions d'un paramètre A. Quand le paramètre varie, la droite se déplace et engendre une surface réglée.
Deux cas sont à distinguer suivant que cette droite a ou non une enveloppe.
Condition pour que la droite ait une enveloppe. Surfaces développables. — Cherchons la condition pour que les droites (D) aient une enveloppe. D'après la règle générale, nous devons associer aux équations (D), les équations obtenues en dérivant par rapport à )v, c'est-à-dire les équations
da dJi ^
db dk
dK dK
Les quatre équations ainsi obtenues doivent être compatibles en J7, y, z. Les deux dernières donnent, pour -, deux valeurs
dh dk
da' ^ db '
si ces valeurs ne sont pas identiques entre elles, les droites n'ont pas d'enveloppe.
Pour qu'il y ait une ençeloppCy il faut et il suffit que les deux valeurs de z soient identiques, c'est-à-dire que l'on ait
da dk — db dh = 0, ou, en se reportant au n® 189, que les droites forment une sur-
face dêi'elo/jpable. Dans ce cas, les coordonnées d'un point de l'enveloppe sont définies par
dh dk
da
X = az -\-h^ y = hz -\- k.
Cette enveloppe s'appelle V arête de rehroussement de la surface développa ble.
Nous retrouvons donc, sous un nouveau point de vue, la classification des surfaces réglées que nous avons déduite de la théorie du plan tangent.
Quand les droites mobiles (D) n'ont pas d'enveloppe, elles engendrent une surface gauche.
Quand elles ont une enveloppe^ elles engendrent une surface dcveloppable. L'enveloppe est l'arête de rebroussement de la surface.
On a ainsi un mode de génération simple des surfaces développables :
Soit une courbe quelconque ; les tangentes à cette courbe forment une surface développable dont la courbe est V arête de rebr'oussement.
Nous savons que le plan tangent à une surface developpable est le même tout le long d'une génératrice, comme dans un cône et dans un cylindre. Nous verrons plus loin qiie ce plan tangent est le plan osculateur à l'arête de rebroussement, au point où la génératrice touche cette arête.
