Exemple. — Les droites ayant pour équations

engendrent une surface developpable. En effet, en dérivant ces deux équations par rapport à A, on obtient deux équations qui donnent pour z la même valeur

Portant cette valeur de r dans les deux équations do la droite, on a, pour les coordonnées d'un point de l'enveloppe, c'est-à-dire de Varête de rebroussement,

i:yVFLOPPE D'UNE FAMILLE DE COVRIiES DASS L'ESPACE 335

Cette courbe est une courbe gauche du troisième ordre ou cubique o-auche.

On poui la vérifier aisément, comme exercice, que le plan tangent à la surface développable le long d'une des génératrices est le plan osculateur de la courbe (F!) (Voyez exercice n^ 210).

206. Cônes et cylindres. — Les exemples les plus simples de surfaces développables sont les cônes et les cijlindres. Il est aisé de vérifier que, pour ces surfaces, la condition générale dadk — dbdh = 0 est remplie. Prenons d'abord un cône et supposons qu'on ait choisi pour origine le sommet du cône. Les génératrices du cône ont alors pour équations

a et h étant fonctions de A. Comme /i et k sont identiquement nuls, la condition est satisfaite. Les coordonnées d'un point de Tarète de rebroussement sont données par

Cette courbe se réduit à un point, le sommet du cône.

Prenons maintenant un cylindre et choisissons l'axe O3 parallèle aux génératrices. Ces droites auront pour équations

.r = /i, ij = k,

Il et k étant fonctions d'un paramètre \. La condition est encore remplie, car a ei h sont identiquement nuls. En considérant le cylindre comme la limite d'un cône dont le sommet s'est éloigné indéfiniment sur Q-, on peut dire que l'arête de rebroussement est un point ii l'infini sur Or.

207. Le plan tangent à une surface développable coïncide avec le plan osculateur à l'arête de rebroussement. — Soit M un point de l'arête de rebroussement,

les expressions des coordonnées du point M en fonction d'un paramètre u.

Quand le point M décrit l'arête de rebroussement, la tangente M/ engendre la surface développable : nous allons montrer que le plan tangent h la surface développable, en un point quelconque M, de la génératrice Mt, est le même, quelle que soit la position du point M,, et coïncide avec le plan osculateur en M à l'arête de rebroussement. Pour déterminer le plan tangent en un point d'une surface, il suffit de connaître les tangentes à deux courbes passant par ce point sur la surface. Par le point M^ de la surface développable, passe d'abord la génératrice M^ M ; le plan tangent eu Mj contient donc cette génératrice. Soit ensuite C^ une. deuxième courbe passant par M^ sur la surface : quand le point M, décrit cette courbe, la longueur MM^ de la tangente à l'arête de rebroussement varie en fonction du paramètre h qui fixe la position du point M. Les équations de la tangente MM^ sont

Fi g. 107

Le point Mj (.r,, ?/,, -,) étant sur cette droite, on a

en appelant p la valeur commune de ces rapports.

Comme jc = f(^n)y y = 'f (/'), ^ = | {n), on a donc, pour les coor données du point Mj,

(M.) y. = y(„)+py'(«),

( -, = 4,(«) + pf(«).

Dans ces expressions, p doit être regardé comme une fonction de M, de telle façon que, quand ii varie, le point Mj décrit la courbe C,. Cela posé, le plan tangent à la surface développable en Mj contient la génératrice MM^. Il passe donc par le point M et son équation est de la forme

KyVELOPPE DE SURFACES A LW PARAMÈTRE 3^7

vu ('Clivant quil contient la droite MM^, tangente à l'arête de rebrousscnient, on a

Il faut écrire qu'il contient aussi la tangente Mj/j h la courbe C^. Or, d'après les expressions des coordonnées du point M^, les cosinus directeurs de cette tangente M^/^ sont proportionnels aux

diilerentielles (I.t\, dt/^, dz^.

d.i\=f{u) [du -\- d^] H- ^f'^ij du,

dVi = 'f '('0 [dit -\-dp]-\- pf{u) du, d-i = '^'i") [^" H- dp] + ?•}''{") du.

On doit avoi]

\d.v^ -h Bdi/^ + C^-^ = 0.

Remplaçant du\, di/^, dz^ par leurs valeurs, et tenant compte de la condition (13), on voit que le coefficient de (^du-\-dp) disparaît et il reste la condition

(14) Af"{u) + Bf{u] + C>i\u) = 0.

Les conditions (13) et (14) déterminent les coefficients A, B, C ^ du plan tangent (12). Mais ce sont précisément les équations déterminant le plan osculateur, en M, à l'arête de rebroussement. Le théorème est donc démontré.

in. - ENVELOPPE DUNE FAMILLE DE SURFACES DÉPENDANT D'UN PARAMÉTRE

208. Équation de Fenveloppe. Caractéristiques, Arête de rebroussement. — Soit

l'équation d'une surface S contenant un paramètre variable A. On peut se proposer de chercher une surface E à laquelle chacune des surfaces S soit tangente tout le long d'une courbe C.

Cette surface E, quand elle existe, est Vem^eloppe des sur-

APPELL. Analyse. aa

a38 COURS D'ANALYSE

faces S; les surfaces S sont les enveloppées et la courbe C, suivant laquelle chaque surface S touche l'enveloppe E, est Ia caractéristique de la surface S.

On démontre, par une méthode analogue à celle que nous avons suivie pour l'enveloppe d'une famille de courbes dans un plan, les théorèmes suivants.

Si les surfaces S ont une enveloppe E, la courbe caractéristique, suivant laquelle chaque surface S touche son e/iveloppe, est définie par les deux équations

U enveloppe est le lieu géométrique de ces courbes : on obtient son équation en éliminant )v entre les deux équations (C).

Dans tous les cas, V équation résultant de cette élimination représente, ou V enveloppe des surfaces S, ou le lieu de leurs points singuliers .

La caractéristique C, suivant laquelle une surface S touche V enveloppe , est la limite de la courbe d' intersection de la surface S avec la surface infiniment voisine, obtenue en faisant varier infiniment peu le paramètre X.

Nous nous contentons d'énoncer ces théorèmes; mais il est important de faire la remarque suivante :

Quand le paramètre \ varie, les courbes caractéristiques C ont une enveloppe A : cette enveloppe s'appelle l'arête de rebroussement de la surface enveloppe.

Les caractéristiques sont des courbes de l'espace définies par les deux équations simultanées :

Pour montrer qu'elles ont une enveloppe, il faut montrer que le système de quatre équations obtenu en associant aux deux précédentes les équations dérivées par rapport à \ :

se réduit à trois.