COURBURE. DÉFIMTIOS ET FORMULES

Appelons n lu longueur de la normale MX du point M à l'axe ; nous allons montrer que le rayon de courbure en M est

En effet, on a (X*» 15) et, par suite, pour une courbe quelconque,

1 ±y" ±fy

Si nous supposons y positif en M , y" négatif, on a

Appliquons cette formule aux coniques. En différentiant deux fois l'équation (1), on obtient

yy'=p + q^^', yy"+y" = q\

remplaçant dans la deuxième équation y' par sa valeur tirée de la première

'fu"^'l!l'-'KP + 'l^T-

Remplaçons dans le deuxième membre y^ par sa valeur (1) et réduisons, il vient :

yhj" = —y;-.

D'où, en substituant dans la valeur de-:^-,

ri

Ce rayon peut donc être construit graphiquement, à l'aide de deux quatrièmes proportionnelles.

Application aux sommets d'une ellipse . — • Soit une ellipse de sommets A, A' et B, B'. Cherchons les rayons de courbure aux

sommets. Le grand axe étant pris pour axe des .r et la tangente au sommet A' pour axe des //, l'équation de la courbe est

y^ = 2 X jc^.

Donc