II. - APPLICATION. — ÉVALUATION DE QUELQUES AIRES
26. Segment d'hyperbole équilatère compris entre V hyperbole et son asymptote. — Soit l'hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes,
calculons l'aire A comprise entre une ordonnée fixe M^ P^^ d'abs-
cisse positive «,ct une ordonnée variable MP d'abscisse a'. On a trouvé en général
dk = ydx.
Comme, actuellement, y = — ,
dK
dx
A = log X — log a = log
FoycTioss rnniiTivKs. f.\tégi{Ales i s défîmes o d'où
A = J— -=log,r + C.
On détermine la constante en remarquant que l'aire s*aniiule
(luiind x es/ (''i;a/ à a ; on a donc
0 = log a -\- C, C = — log (i . Donc enfin
Si on suppose a= 1, on a, en particulier,
A = log X.
On a donc ainsi une représentation graphique simple du logarithme népérien, qu'on appelle pour cette raison logarithme hyperbolique.
Quand le point P s'éloigne, x augmente, l'aire A augmente, et quand x augmente indéfiniment, A devient infinie.
Dans d'autres cas , l'aire comprise entre une courbe et une asymptote peut être finie ] c'est ce qu'on verra dans l'exemple suivant :
