R=:2MI
Le rayon de courbure, en M, est égal au double de la normale MI.
222. KxEncicE. Trouver une courbe plane dans laquelle le rayon de courbure soit proportionnel à la longueur de la normale. — Soit n la longueur de la normale depuis le point de la courbe jusqu'à l'axe Or, k une constante, on doit avoir
Supposons 1/ positif, on a
Si 1/" est positif,
la courbe a la forme I [fig. 114) et l'équalloii du j):oblème est
corniu ni:, défimtion et fohmi les Si, au contraire, ij est négatif,
la courbe a la forme (H) [fig. 114), et l'équation s'écrit
L'équation (2) se déduit de (1) par le changement de A- en — /.-. D'après cela, on peut considérer l'équation (1) comme exprimant la propriété demandée dans tous les cas, à condition de regar-
Fig. 114.
der k comme positif, si la courbe a la forme (I), et comme négatif, si elle a la forme (II). On peut dire aussi, en désignant par C le centre de courbure relatif au point M, que k devra être regardé comme positif, si les deux segments CM et MX sont de même sens, et comme négatif, si CM et MX sont de sens contraires. Intégrons alors l'équation différentielle des courbes cherchées
cette équation est dite du deuxième ordre, car elle contient la dérivée seconde de la fonction inconnue //. En divisant par y/ l-|-î/'^, on peut écrire
Remarquons que l'on a
d;i' dy' d,j dy< ,,
dx chj dju
<iy
APPELL. Analyse.
car — ^ = 1/'. L'équation devient alors, en remj^laoant //" par cette expression et multipliant par 2di/ : 2?/dj/ 2 djj
Le premier membre est la différentielle de log (!-}-//'-), et le deuxième, celle de -T-l^g y- ^^s deux fonctions, ayant des difTé-
rentielles égales, ne diffèrent que par une constante et on a
en désignant la constante par 7~ l<^g ^- Si l'on écrit
log (1 +//-) = log (-f)',
on a, en passant des logarithmes aux nombres,
On déduit de la, puisque y' =j- ^
On a ainsi, avec deux constantes arbitraires .r^ et «, l'équation des courbes demandées. Quand on fait varier la constante .r^y la courbe se déplace parallèlement à O.r. Quand on fait varier <?, la courbe change de forme en restant homothéticpie par rapport au point .r = .rjj, y = 0.
COIRBURE. DÉFINITION ET FORMl LES
Cas d'intégrabilité. — La difrérentielle, soumise à l'intégration, (liuis le deuxième membre de l'équation (3), est une diflerentielle binôme de la (orme
Cherchons les cas d'intégrabilité, d'après ce que nous avons vu' X" 80). Actuellement y^ n'est pas entier. On a
/«-hl k m-f-i A — 1
(lO
L'intégration est possible, quand l'un de ces nombres est un ntier E positif) négatif ou nul. On peut ne intégrer quand
ou
Fig. iij.
c'ost-à-dire
A=2E, ou A = 2E+1,
c'est-à-dire quand k est un entier quelconque^ pair dans le premier cas, impair dans le deuxième.
En prenant k = — 1, on trouve un cercle ayant son centre sur O.r, résultat évident ; et A* = 1, une chaînette ayant Or pour base(X^ 220).
Pour A- = — 2, on trouvera une cycloïde engendrée par un point d'un cercle roulant sur 0.r (X° 221).
Achevons les calculs pour k = 2. Alors
d'où
Élevant au carré, on a une équation qu'on peut écrire
COIRS D'ANALYSE
La courbe est une parabole ayant l'axe Ojc pour directrice. Donc, clans une parabole, le rayon de courbure est égal au double de la normale depuis le point de la courbe jusqu'à la directrice :
