ÉTUDE D'UNE COURBE PLA.NE DANS LE VOISINAGE D UN POINT

223. Développement de l'ordonnée en série. — Soit O un point quelconque de la courbe : prenons ce point pour origine, pour axe O.r la tangente, pour axe O// la normale du côté de la concavité de la courbe (fy. 116).

Soit

Fijf. ii(i.

l'équation de la courbe. En supposant v suffisamment petit, on pourra, si l'origine

n'est pas un point singulier de la courbe, développer t/ en série

par la formule de Mac-Laurin :

y=/-,0)+^/'(0) + -^/-"(Oj

Cette série sera convergente dans un intervalle symétrique par rapport à zéro et représentera, par suite, un arc de la courbe compris entre deux ordonnées placées symétriquement par rapport à Oy.

Comme la courbe passe par l'origine, ^(0) = 0 ; et comme la courbe est tangente à O.r, le coefficient angulaire f^[,r) de la tangente est nul au point O : /''(0) = 0.

Cherchons le rayon de courbure à l'origine.

On a, en général,

Actuellement, on a

ETLDE bUM: ( OlIiliE PLÀSE DASS EE VOISINAGE D'US POINT 35;

A roiigine, .r = 0, j/ s'annule et //'^devient égal à f'iO). On a donc, en appelant R,, le rayon de courbure à l'origine,

On pourrait, de même, avoir une signification géométrique

de f"(0). Pour cela, prenons la dérivée de -5- par rapport à x^

en appelant R' la dérivée —r— • Il vient : * a.v

Faisant, dans cette formule, .r = 0 et remarquant que y' s'annule pour r = 0, on a

R^ désignant la valeur de R^ = -— — , au point O.

On peut alors écrire le développement (1) de //,.en y remplaçant /*(0) et f [0) par zéro, f [0] par la valeur ci-dessus

OÙ ciyb,... sont des coefficients constants, dont le premier a pour valeur

Cette formule (2) va nous permettre d'établir divers théorèmes.

224. Le centre de courbure, en un point d'une courbe plane, est la limite du point de rencontre de la normale en ce point et de la normale infiniment voisine. — Démontrons le théorème pour le point O. Le centre de courbure, en O, est, par définition, le point C,, obtenu en portant sur la normale Oy, dans le sens de la concavité, une longueur OC^ égale à Rj, {fig. 116).

Soit M, un point voisin de O. La normale, en ce point, a pour équation

et le point A, où elle coupe la normale Oy (X=0), a pour ordonnée

Remplaçons la dérivée y' par sa valeur tirée du développement (2) ; il vient

ou, en simplifiant,

Quand le point M se rapproche indéfiniment du point O, les coordonnées a: et y tendent vers 0, et l'on a

limY = Ro.

Le point A tend donc bien vers le centre de courbure C^,.

225. Si on abaisse d'un point M de la courbe la perpendiculaire MP sur la tangente en 0^ le rayon de courbure en O est donné par la formule

ÔP'

R. = lim — z=r-^ 2MP

quand M tend i>ers 0.

En effet, en désignant par .r et y les coordonnées de M, on a

{fig, 116)

OP' = .rS yiP=y.

Le développement (2) donne immédiatement

2MP 2y 1 ., OP^ ~ .«' ~ R„

ajc

ÉTUDE D'USE COURUE PLASE DASS LE VOISISAGE D'UN POINT 359 et, si Ton lait tendre .a vers zéro,

Donc, en prenant les inverses,

OP* R, = lim-4Lr-.

226. Le cercle de courbure {ou cercle osculateur), en un point O d'une courbe, est la limite vers laquelle tend un cercle tangent en O à la courbe et passant par un point M infiniment voisin de O. — Kn eli'et, figurons le cercle tangent en O à la

courbe, c'est-à-dire à O.r, et passant par un point M de la courbe.

Soit R le rayon de ce cercle. L'ordonnée MP le coupe en un deuxième point M' et on a évidemment [fig. 117).

P>r = 2R — PM.

La relation élémentaire

ÔP' = PM.P\r,

s'écrit alors

d'où