PM
36o COURS D'ANALYSE
Quand le point M tend vers O, PM tend vers zéro, le rap-
(TÎ72 port -^ tend vers R^, et on a
limR=:R„ ce qui démontre le théorème.
227. Le cercle de courbure, en un point O (Tune courbe, est la limite d'un cercle passant par O et par deux points de la courbe infiniment voisins de O. — Soient M et M^ deux points de la courbe voisins de O. Les trois points OMMj déter-
Fig. Il 8.
minent un cercle. Ce cercle tend vers le cercle de courbure en 0, de (juelqiie manière que Von fasse tendre les points M et M, i^ers O le lon£( de la courbe (fi^. 118, 1).
Pour simplifier, nous nous bornerons au cas où on Tait tendre les deux points M et M, successivement vers 0. Si on fait d'abord tendre M^ vers O en laissant M fixe, le cercle OM^M devient un cercle tangent en O à la courbe et passant par M. Si, ensuite, on fait tendre M vers O, ce cercle devient le cercle de courbure en O, d'après le théorème précédent.
228. Le cercle de courbure, en un point d'une courbe, traverse en général la courbe. — En effet, considérons d'abord un cercle, passant par le point 0 et deux points voisins M et M^ pris sur la courbe dans le voisinage de O (^/Ig 118, 1). Si un mobile suit la courbe en marchant de la gauche vers la droite, il est d'abord hors du cercle jusqu'au point M,, sur l'arc M,0, il est dans le cercle, sur l'arc 0^1, en dehors, et, sur l'arc qui suit le point M, il est dans le cercle. Nous avons, sur la figure 118, pointillé les arcs intérieurs au cercle et tracé en traits pleins les arcs exté-
j:j i iji: D'iM-: coinni': plam: dass le voi^îsagk dus voist 36i
rieuis. Si, inainlenant, les points M et ^I, tendent vers O, les arcs M,0 et OM disparaissent, le cercle devient oscillateur en 0 et il ne reste que les deux arcs B,() et OB qui sont: l'un extérieur, l'autre intérieur au cercle osculateur (fiiJ^. 118, II).
229. Ordre de contact dune courbe et du cercle osculateur. — Considérons un cercle quelconque de rayon R tangent h la courbe en O. L'ordonnée MP d'un point de la courbe rencontre ce cercle en un point M,, voisin de O, dont nous appellerons //, l'ordonnée (//j;'-. 119). L'équation du cercle étant
Fij<. I
l'ordonnée y^ est la plus petite racine de cette équation du deuxième degré en //
Nous écrirons
et nous développerons ( 1 ^ ) par la formule du binôme. On
fl-^f=l-i-^ V IV / 2 K^
a ainsi
Cela posé, calculons la difïerence MP — M^P des ordonnées correspondantes du cercle et de la courbe. L'ordonnée y de la courbe étant, d'après le développement (2) du X* 223,
■\-ax
on a
362 COURS D'ASALYSE
Donc, si R est différent de R^,, c'est-à-dire si le cercle considéré est distinct du cercle de courbure, la différence y — y^ est infiniment petite du deuxième ordre.
Mais, si R = R^, c'est-à-dire si le cercle considéré se confond avec le cercle de courbure en O, la différence y — y^ devient infiniment petite du troisième ordre au moins. On peut donc dire que :
De tous les cercles tangents en un point à une courbe, c'est le cercle osculateur qui se rapproche le plus de la courbe.
Ces formules montrent également qu'en général le cercle osculateur traverse la courbe. En effet, supposons que le cercle considéré se confonde avec le cercle osculateur
on aura
où les termes non écrits sont du quatrième degré au moins en x. Quand x est infiniment petit, la différence y — y^ a le signe du premier terme ax^. Elle change donc de signe avec x : si, d'un côté du point O, le cercle est au-dessus de la courbe, de l'autre côté, il est au-dessous.
Si on cherche les abscisses des points d'intersection de la courbe et du cercle osculateur, il faut chercher les valeurs de x pour lesquelles y — y^ est nul :
Cette équation admet la racine triple
On peut dire que le cercle osculateur en un point coupe la courbe en trois points confondus avec ce point, ce qui est, sous une autre forme, le théorème du N** 227. On peut dire aussi, d'après les définitions posées au X** 150, que le cercle osculateur a, avec la courbe, un contact du deuxième ordre.
Cas exceptionnel. Sommets. — Pour certains points particuliers d'une courbe, il peut se faire ([ue le coefficient a soit nul. Dans ce cas, la différence
y — Vi^
RAYOy DE COURBIHE ES COORDOSSEES POLAIRES 36{
commence par un terme en ^\ elle est infiniment petite du quatrième ordre avec x ; comme elle ne change pas de signe quand / change de signe dans le voisinage de 0, le cercle osculateur laisse la courbe d'un même coté aux environs du point de contact. En un point de ce genre, le cercle osculateur a un contact plus élevé avec la courbe qu'en un point ordinaire. On peut dire qu'il a quatre points confondus communs avec la courbe, car l'équation // — //^ = 0 a une racine quadruple nulle. Le contact est du troisième ordre.
Un point de cette nature s'appelle un sommet de la courbe. On peut caractériser ces points en se reportant à la valeur du coeflicient a (X« 223)
Comme R'o est la valeur que prend la dérivée de R par rapport à r au point O, on voit que a est nul toutes les fois que R'o=0, c'est-à-dire en tous les points où le rayon de courbure passe par un DKi.viniuni ou un minimum.
On trouvera donc les sommets d'une courbe, en écrivant que R
ou-j^- est maximum ou minimum.
L'exemple le plus simple de sommets est fourni par les quatre sommets d'une ellipse. En chacun de ces points, le cercle osculateur a quatre points confondus communs avec l'ellipse, il ne traverse pas la courbe [flg. 113).
UI. — EXPRESSION DU RATON DE COURBURE D UNE COURBE PLANE EN COORDONNÉES POLAIRES
230. Angle de la tangente avec le rayon vecteur, — Soient /• et 0 les coordonnées polaires d'un point M,
l'équation de la courbe. Appelons Y l'angle de la tangente en M avec le prolongement MR du rayon vecteur. Soit M', un point infiniment voisin de M, ayant pour coordonnées polaires r -f- <^ '* et 8 4-^8; décrivons, de O comme centre, avec OM =r comme
rayon, un arc de cercle MP. Quand M' tend vers M, l'angle PM'M tend vers V. Le triangle infinitésimal MPM' est rectangle en P, on a
MP = /ï/e, PM' = dr, plfM = V.
Donc, d'après les formules élémentaires sur les triangles rectangles,
A'^0 = <5?7-tang V, d'où tangV = — ^ — = — T' en désignant par /• la dérivée , . .
Rayon de courbure. — Soit a- l'angle de la tangente M/ avec Or : on a, dans le triangle OAM [fig. 130),
ou, d'après la formule
tan g \= — ^> 0- = arc tang —j--\- ^.
D'autre part, la difFérentielle de l'arc est (N** 61
ds=^\/dr^-^r^d^^.
Pour avoir le rayon de courbure, il suflit d'appliquer la formule
1 di R ""- ds '
telle qu'elle résulte de la définition même (N» 218).
Nous ferons le calcul, en prenant comme variable indépendante 0
RAYOS DE COUHin RE ES C O O H D 0.\' X E E S POI.AIRES 365
ot désignant par /" la dérivée seconde de /• par rapport ii h. Nous écrirons
. 1 (ih
R (is
Or, d'après (1),
et, d'après (2),
Donc
1 r'-\-2r'*- — rr''
où le signe doit être choisi de façon (pie -^ soit positif.
Pour la retenir plus facilement, il est commode de mettre cette formule sous la forme suivante :
) désigne la dérivée seconde de —, par rapport a h.
Points d'inflexion. — Ce sont les points où R =x , T7 = ^^ J ^^^ sont donc donnés par l'équation
ou
Sommets. — Ce sont les points pour lesquels R ou -jr- passe
366 COrnS D'ANALYSE
par un maximum ou un minimum. On les obtient en écrivant l'équation
qu'il est inutile de développer.
Exemple. Cardioïde (X° ()2). — L'équation de la cardioïde est
r = a (l + cos 0).
On a donc :
/•' = — «sin8, /•" = — rtCosO.
Après des réductions évidentes, on a
,.2 ^ 2 I'" — rr" = 3 a\i + cos H) = 3 ar, r^-^r" = 2a\l + cos H) ==2 ar.
