IV. - EXERCICES SUR LES RAYONS DE COURBURE DES COURBES PLANES

232. Courbe dans laquelle R= '^ (t). — Supposons qu'on veuille trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure R est une fonction donnée de l'angle 7 que (ait la tangente avec une direction fixe O.r.

l^omme n = —r-, la relation donnée ((1

devient

D'autre part, on a, en appelant .r et // les coordonnées d'un point

le la courbe (X^ 140

d.v = ds cos 7, (il/ = ds sin t.

Remplaçant ds par sa valeur, on aura

d.v = cp (o") cos t^/t, ^/// = 'j (ff) sin t f^y.

])'où on tire .r et ?/ en intégrant

a' — ./y = I '^ (a-) cos T^T, Z/ — //o=/'f(') sincr^/cr,

•^0 ^t ^0 désignant des constantes d'intégration. On a ainsi les coordonnées d'un point de la courbe cberchcr en fonction d'un paramètre 7.

Quand on fait varier .r^ et //„, la courbe ne change pas de forme,

KXKHCICns SIH LES RAYOSS DE COURBURE '\^\[\

elle ne lait ([ue se transporter parallèlement à elle-même. En eil'et , en portant l'origine an point x^ et //„, on réduit les équations ii la même ((unie ([iic si x^ et y^ étaient nulles.

lv\KMi»i.i:s. — l** Soit il trouver une courbe dont le rayon de courbure est constant et égal ii a

ds

flO"

On a alors :

^.r = « cos 7d'7, dy = « sin 'idi.

Vax intégrant

X — a'^^ = rtsinT, y — ^o "^^ — «cost.

Éliminant a-, on a l'équation de la courbe

c'est un cercle de rayon a.

2" Soit il trouver une courbe telle que

R = 4«sinT,

a désignant une constante. On a alors

c?5 = 4rtsin o'dfa', dx = 4 rt cos T sin tû^t, dy ^=^^a sin" rsdi^

ou encore

dx = 2a sin 2 t^t, dy = 2a [1 — cos 2 t) d^.

Intégrant, on peut écrire

X — x^^ = a [^l — cos 2 t) , y — y^==aÇ27 — sin 2 t) .

en portant l'origine au point x^^, y^ et remplaçant 2t par //, on retrouve les équations d'une cycloïde (S° 37), sauf le changement de X en y et de y en x.

La courbe est donc une cycloïde dont la base est parallèle liOy.

APPEi.i.. Analyse. ai*

Trouver une courbe dans laquelle le rayon de courbure est une fonction donnée de l'arc s, — Si on donne

on en déduit, en remplaçant R par sa valeur -^ :

ds , . ds

et, en intégrant,

Cette équation donne s en fonction de o- ; on a, par suite, R en fonction de a, et on est ramené au problème précédent.

La quadrature (i) donne o" à une constante arbitraire près; la valeur de cette constante change non la forme, mais seulement la position de la courbe. En effet, en faisant tourner les axes de coordonnées, on ne change pas s, mais on change a- en o--)- C**, puisque t est l'angle de la tangente avec Or.