NOTIONS GÉNÉRALES. — FORMULES

233. Courbure. — Nous avons vu comment, dans une courbe plane, l'idée de la courbure se trouve liée à la variation de la direction de la tangente . On étend cette idée aux courbes gauches. Si la tangente à une ligne dans l'espace conservait une direction fixe, cette ligne serait une droite. La ligne est donc courbe parce que la tangente change de direction, et il est naturel de mesurer la courbure par la variation de la direction de la tangente. On définit la courbure d'une courbe gauche de la façon suivante.

Soit une courbe gauche, sur laquelle on a choisi un sens positif pour les arcs s [fig. 122), et soit M^ la tangente, menée dans ce sens. En géométrie pltine, on peut évaluer la variation continue d'une direction, en menant par le centre d'un cercle de rayon 1 une parallèle h cette direction et évaluant la variation de la longueur de l'arc découpé par cette parallèle sur la circonférence. Dans l'espace, pour évaluer la variation continue de la direction de la tangente M^, on considère une sphère de rayon 1 et de centre O ; on mène, par le centre, un rayon OA parallèle à M/. Quand le point M décrit la courbe gauche dans le sens des arcs positifs, à partir d'un point M, la droite OA décrit un cône

Fig. 122.

appelé coue directeur des tangentes (N** 164), et l'extrémité A du rayon OA décrit, sur la sphère, une courbe A^A, dont nous désignerons l'arc par t, en prenant comme sens positif de t le sens Aj, A. On peut dire que cet arc <j mesure la variation continue de la direction de la tangente depuis la position M^^^^^ jusqu'à M^

Courbure moyenne d'un arc MM^. — Sur la courbe gauche,

Taisons croître *• de \s ; le point M se déplace et vient en M^ de

telle façon que

\s = arc MM^ ;

la tangente passe de la position M^ l\M^t^ et, sur la sphère, le

point A se déplace jusqu'en A,, l'arc v de la courbe sphérique

augmente de

At=: arc AAj.

On appelle, par analogie avec ce qu'on a vu pour les courbes planes, courbure moijennc de l'arc MM^, le rapport

quantité positive,

Courbure en un point. — La courbure, au point M, est la limite vers laquelle tend la courbure moyenne de l'arc MM,, quand cet arc tend vers zéro. On a donc :

At (h

courbure en M = lim

As ds

Le rayon de courbure R, en M, est l'inverse de la courbure; donc

,^ ,. As ds il = lim— ; — =— -— • Il du

(^ette quantité R est positive.

Remarque. — En désignant par e l'angle des deux tangentes M/ et M/,, angle qu'on appelle angle de contingence^ on peut dire aussi que la ccmrbure, en M, est la limite du rapport

COiRIiURE ET TORSIOS. FORMULES 3; 5

quand Mj tend vers >[. Kii effet, l'angle £ des deux tangentes M/ et M, /j est égal à celui de leurs parallèles OA et OA^ : il est donc mesuré par l'arc de grand cercle joignant les extrémités A et A, de l'arc de la courbe sphérique Ao". On en conclut

que le rapport tend vers 1, quand M, tend vers M et, par

suite, Aj vers A. Fin effet, on peut écrire

Aor Aa- corde AA,

£ corde AA, £

Comme le rapport de l'arc At à sa corde tend vers 1, et que, d'autre part, le rapport de l'arc de grand cercle AAj, ou s, à sa corde, tend vers 1, on a bien

hm = 1

Les deux rapports

ont donc même limite, et l'on a :

courbure en M = lim — ^ .

234. Torsion. — Dans une courbe plane, le plan osculateur est fixe tout le long de la courbe, puisqu'il se confond avec le plan de la courbe. On peut dire également que, dans une courbe plane, la direction de la binormale, perpendiculaire au plan osculateur, est la même tout le long de la courbe. Réciproquement, on démontre (N° 250) que toute courbe, dans laquelle la binormale a une direction fixe, est plane. On peut dire qu'une courbe est gauche parce que la binormale change de direction, et il est naturel d'introduire, pour les courbes gauches, un deuxième élément caractérisé par la variation de direction de la binormale, comme la courbure est caractérisée par la variation de la direction de la tangente.

Ce nouvel élément est la torsion.

Soit MX' la binormale, en M, à la courbe gauche. Nous choisirons plus loin un sens positif sur cette binormale : mais, pour le moment, MN^' est simplement une perpendiculaire indéfinie. au

plan osculateur. Pour évaluer la variation continue de la direction MN'' quand le point M parcourt la courbe, de M^, en M, nous mènerons, comme tout à l'heure, par le centre O de la sphère de rayon 1, une parallèle à MN'' : soit BOB' le diamètre parallèle à la droite indéfinie MN^' [fig. 122). L'extrémité B de ce diamètre, suivie par continuité, part d'une position B^ quand M part de M„, et décrit une courbe sphérique BqB, dont nous appellerons l'arc T, en convenant de compter cet arc positivement dans le sens B^^B. En même temps, le point B' décrit un arc B'^^B' égal à T, dans le sens contraire.

Torsion moyenne d'un arc MM^. — Sur la courbe gauche, l'aisons croître s de A*-; le point M vient en M^, de telle façon que

As = arc MM^ ;

la binormale passe de la position MN'', à la position M^NJ', et, sur la sphère, le point B se déplace jusqu'en B^, l'arc t de la courbe sphérique augmente de :

AT=:arcBB^.

On appelle alors torsion moyenne de Tare MM^, le rapport

quantité positive.

Torsion en un point. — La torsion, au point M, est la limite vers laquelle tend la torsion moyenne de l'arc MM^, quand cet arc tend vers zéro. On a donc