Courbe ?/ = -;^. — Cette courbe a, dans l'angle yOx, la
même forme générale que l'hyperbole précédente [fig, 9) ; elle se rapproche plus rapidement de Ox. L'aire A du segment P^jM^jMP a pour différentielle
r/A = ydx = — '— = 'V~ * dx.
En intégrant, on a
,1 Texpression de l'aire devant s'annuler pour x = a, on a C = — ,
d'où
Quand x croît indéfiniment, l'aire du segment tend vers
la limite — ; l'aire comprise entre M^ P^^, la courbe et l'asymp-
tote Ox est donc finie.
28. Aire d'un segment parabolique. — l"* Soit d'abord une parabole
,j = Lv^
rapportée à son axe comme axe Oy et h la tangente au sommet comme axe O.r. (Cherchons l'aire A du segment OMP (fig. 10). On a
(lA = ?/(Ijc = kœ'^dXf
L*aire devant s'annuler avec œ, C est nul et on a
kx
xy
L'aire OMP est donc le tiers du rectangle OUMP; l'aire comprise entre l'arc OM et sa corde est donc le sixième du même rectangle.
Fig. Il
2" Prenons maintenant un cas plus général et considérons un segment de parabole limité par un arc de parabole M^^M,, une perpendiculaire V^ P, à l'axe de la parabole et deux parallèles Mol\ et M,P, à cet axe (fig, 11).
Prenons comme origine le point P^,, comme axe Otj la droite P., M„ et comme axe O.r la droite PoP,- Appelons U la dis-
FOSCTIOyS PRIMITIVES. I yTEGRALE S I S DE FI SIES 4>
tance P^^ Pj, y^ et y^ les deux ordonnées extrêmes M^^P^et M, P,. L'équation de la courbe est de la forme
y = ax^ -\- hx -f - ^'
rt, h^ c étant des constantes. Si on appelle A l'aire P^M^MP comprise entre M^^P^j et une ordonnée variable MP d'abscisse x, on a :
(lA = ydx = ax^dx -f- bxdx -j- cdx
d'où, en intégrant,
A = rt —^ -f- h -^ — h ex -j- C.
L'aire A devant s'annuler avec .r, la constante C est nulle ; l'aire P^, M^ MP est donc
L'aire demandée, S = P^, M^^ Mj P^, s'obtient en donnant à x la valeur h :
S = a -^ -\- b —y -\- cil.
Pour interpréter ce résultat, remarquons que les ordonnées y^ et y^ correspondant à j: = 0 et x = h sont :
^0 = ^^ Vi = ^^^' + ^^^ + ^•
Introduisons, en outre, l'ordonnée médiane M'P' équidistante des ordonnées extrêmes ; en appelant y,„ cette ordonnée qui
correspond a x^-^y on a :
On vérifie alors immédiatement que l'on a
i», COURS D'A y A LY SE
