AT T

torsion en M = lim = — ; —

As ds

Le rayon de torsion T, en M, est, par définition , V inverse de la torsion ; donc

rj, y As^ ds

At d-z

Cette quantité T est positive.

( ont ni II/: i.r torsion. roiiMi r.i.s

Remarque. — En désignant par 7, Tangle des deux binormales >ÏX" <'l Mj Xj", on peut dire aussi que la torsion, en M, est la

limite du rapport —r—') quand ^I^ tend vers M. l'ii ('Het, l'angle r^

(les deux binormales est mesuré par l'arc de grand cercle de la sphère joignant les extrémités, B et Bj, de l'arc de courbe sphérique A t. On en conclut que le rapport

At At corde BB,

Tj corde BB, r^

tend vers 1. quand M, tend vers M, et, par suite, que les deux rapports

At r

ont même limite.

235. Propriétés géométriques des courbes 7 et ",. — Pour arriver, tl'une façon simple, aux formules donnant la courbure et la torsion, nous ferons d'abord quelques remarques géométriques sur les courbes a- et t; ces remar* ques nous permettront de définir le sens positif de la binormale et de la normale principale.

Soit AF la tangente à la courbe sphérique t, dans le sens des t positifs. Celle droite AF est parallèle à la normale principale MX^ [fig. 123). En effet, le cône, engendré par les droites OA, est le cône directeur des tangentes à la courbe : le plan tangent OAF à ce cône est parallèle au plan osculateur en M à la courbe (N** 164). La droite AF étant dans un plan parallèle au j)lan osculateur et étant perpendiculaire à la droite OA parallèle à M/, est parallèle à la normale principale MX'. Xous choisirons, comme sens positif sur la normale principale, le sens de AF : nous verrons, plus tard, que la partie positive MX' de la normale principale, ainsi définie, est la partie qui se trouve dirigée vers la concavité de la courbe en M. Passons

Fig. l'ij.

3;G coins D AXA LYS E

mainleiiant au conc engendré par les parallèles B^OB aux binormales et aux courbes sphéri(pies, lieux des points B et B' : nous mènerons à ces courbes les tangentes BJI et B'IT, dans le sens dans lequel chacune d'elles est décrite. Comme le plan tangent OAF au cône <? est parallèle au plan osculateur en M, la droite B'OB, parallèle à la binormale, est perpendiculaire au plan OAF. Ainsi, on obtient le cône décrit par les droites BOB, en prenant les perpendiculaires élevées par O aux plans tangents OAF du cône 0".

Le cône ainsi obtenu, ou cône t. est dit supplémentaire du cône a. Il est aisé de voir que, réciproquement, le cône t est supplémentaire du cône 0", c'est à-dire que la génératrice OA est perpendiculaire au plan tangent OBIl du cône t. En elTet, soient OAF et OA,F,, deux plans tangents voisins du cône c : ces deux plans étant perpendiculaires aux génératrices OB et OB, du cône t, leur intersection 01 est perpendiculaire au plan BOB^ . Quand OA, tend vers OA, l'intersection 01 des deux plans tangents tend aussi vers ()A, le plan BOB, tend vers le plan tangent OBII au cône t. Comme le plan BOB, est perpendiculaire à 01, le plan tangent OBII est perpendiculaire à la limite de 01, c'est-à-dire à OA.

D'après cela, les tangentes AF et BII aux courbes sphériques a etT sont paiallèles : en effet, AF est perpendiculaire au rayon OA de la sphère et à la droite OB perpendiculaire au plan OAF ; donc AF est perpendiculaire au plan AOB . On voit de même que BH est perpendiculaire au plan AOB. Ces deux droites sonl donc parallèles. On peut toujours supposer que ces deux tangentes AF et BH sont parallèles et de même sens. En cflet, nous avons mené les deux tangentes BII et B^IF aux deux courbes sphériques, lieux des points B et B', dans le sens où chacune d'elles est décrite. Les deux points B et B^ étant symétri([ues par rapport à O, ces deux tangentes BH et B'IF sont para If ries et de sens contraires. Comme elles sonl parallèles à AF, Tune d'elles est de môme sens que AF, l'autre de sens contraire. Nous supposerons qu'on ait appelé B celui des deux points B ou B' qui décrit la courbe t dont la tangente est de même sens que AF.

Cette convention détermine le sens de la demi-droite OB ; c'est ce sens que nous choisirons pour sens positif de la binormale MX' .

cornu LUE rr ronsio.w romur.r.s 37-

Les deux tangentes AF et BJl sont alors parallèles, de nirm<' sens, et parallèles à la normale principale MX'.