APPLICATION AUX HÉLICES. HÉLICE OSCULATRICE

Les cosinus de la normale principale MX^ sont donc égaux et de signes contraires à ceux du rayon OP ; cette normale MX' est parallèle h PO; elle est normale au cylindre, comme nous l'avons déjà vu (X« 174).

Nous pouvons maintenant calculer da.' y d'^' , d^ t et, en divisant par dsy nous avons

a ol" da' s'mif

^ '^^ d'^' COSli

R T ds

Faisant la somme des carrés, on a

d'où, d'après la valeur de R,

Connaissant a, !3, y^R et T, les dernières formules donnent ^", p", f.

Nous ne ferons pas ce dernier calcul, qui serait une simple vérification, car les valeurs de a",^'',y'' résultent immédiatement de l'équation du plan osculateur(N* 174), la binormale étant perpendiculaire à ce plan. Nous nous bornerons à remarquer que la formule

ds~ K T '

donne, actuellement, puisque y est nul,

ou, d'après les valeurs de T, R, y,

APPELL. Analyse.

Cette v;:leur étant négative, la binormale MN^^ fait avec Oz un angle obtus. Elle est donc dirigée comme le montre la figure 125.

Remarque I. — En partant des valeurs de aJ' , [îi'^, y'', telles qu'elles résultent de l'équation du plan osculateur, on pourrait calculer directement T à l'aide des formules :

ds

df

ds

ds

i (d^"Y (dfj'v (dj'Y

T' \ ds ) ~^\ ds ) ~^\ ds /

Remarque II. — On voit que, dans une hélice circulaire, les rayons de courbure et de torsion sont constants. Nous verrons plus loin que, réciproquement, toute courbe, pour laquelle R et T sont constants, est une hélice circulaire.

242. Hélice quelconque. — Considérons un cylindre quelconque, dont les génératrices sont parallèles à O^, et, sur ce cylindre, une hélice obtenue en enroulant sur lui un plan dans lequel on a tracé une ligne droite. Prenons pour axe 0.r la perpendiculaire abaissée d'un point A de l'hélice sur Oz [fig. 126). Soit M un point de l'hélice, P sa projection sur le plan des xtj. Le lieu de P est ^^* '^^* la section droite du cylindre, dont

nous désignerons l'arc par /,

arcAP = /.

Nous appellerons s l'arc de l'hélice,

arcAM = s.

on a P

Si on exprime les coordonnées du point P en fonction de /,