APPLICATION AUX HÉLICES, HÉLICE OSCULÀTRICE
L'arc AP étant égal à /, on a
cW = (Lv' + (h/ ^ [f' (/) 4- f (01 dL\ donc
Appelons p le rayon de courbure de la section droite AP en P : comme t est lare AP, on a (N® 238) ;
f -\ir) '^\dû )'
Ceci posé, passons h l'hélice, lieu du point M. Ce point a mêmes coordonnées .v et i/ que P ; son ordonnée MP = z est proportionnelle à l'arc AP : donc
(M) -r^nj), y = -fW. •2 = >-«.
A désignant une constante positive. D'après cela,
(U = f [t) dt, dy = 'J {t) dt, dz^=^ \dty ds = \/dj;---\-di/'-i-dz' = Vi -h )^' dt.
On a :
^rfv' ' \^i-j-v ' vi
Comme y est constant, la tangente fait un angle constant avec les génératrices du cylindre, propriété élémentaire bien connue.
. doL d?j d-x
Formant ensuite-^- , -r— ? -r^, on a ds ds ds
D'où, en ajoutant les carrés, ou, d'après la valeur de — r >
Le rayon de courbure, en M, varie clone proportionnellemenl au rayon de courbure correspondant de la section droite.
Comme y' est nul, la normale principale est perpendiculaire aux génératrices du cylindre, et, comme elle est perpendiculaire à la tangente, en M, à riiélice, elle est normale au cylindre. Le plan osculateur d'une hélice quelconque contient donc la normale au cylindre en ce point. C'est là une propriété qui tient au fond à ce que l'hélice est le plus court chemin d'un point à un autre sur la surface du cylindre. Nous verrons plus tard que, sur une surface quelconque, la ligne la plus courte entre deux points est une courbe telle que la normale principale, en chacun de ses points, coïncide avec la normale à la surface.
Revenons à l'hélice et calculons sa torsion. Comme y' =0,
on a '-^=\j et, par suite,
ds
Le cosinus y est constant et égal à , =. ; comme on a
et que y' est nul, il vient
Alors la dernière formule donne
dans cette formule, on voit qu'il faut prendre y'' = — / , -y
puisque R et T sont positifs. On a donc
Ainsi, dans une hélice quelconque, le rapport du rayon dr courbure au rayon de torsion est constant. Nous verrons plus tard
A l'/'/.lC.l J I().\ Ai\ HÉLICES. HÉLICE OSCULATRICE i«9
([uc. n'ci[)ro<[uement, toute courbe gauche, pour la(|uelle -=r ^st
constant, est une hélice,
l{rmar<[iions, en outre, (jue, v" étant négatif, la binormale MV est placée comme le montre la figure.
Remaiuh i; (;i:oMÉTRiQUE. — Il est aisé de démontrer géométriquement que la normale principale d'une hélice est normale au cylindre. Kn eifet, la tangente à l'hélice faisant un angle constant avec une direction (ixe Or, le cône directeur des tangentes est un cône de révolution autour de Oc, et la courbe t, découpée par ce cône sur une splu rr de rayon 1, est un petit cercle dont le pôle est sur Oz Ji^. 127). La tangente AF à la courbe t est alors perpendiculaire au plan AO-, et, comme elle est parallèle à la Fig. i-^;.
normale principale, cette dernière est perpendiculaire à Or, c'est-à-dire aux génératrices du cylindre sur lequel est tracée l'hélice.
243. Courbes sinistrorsum et courbes dextrorsum. — Dans les figures précédentes, nous avons représenté des hélices de.vtrorsum tournant de gauche à droite. Pour ces hélices, le trièdre M/, MX', ^VS" , formé par la tangente [fîg. 125 et 126;, la normale principale et la binormale, dont les sens positifs sont déterminés par les conventions adoptées, est disposé de telle façon, qu'un observateur, ayant les pieds en M, la tète en t et regardant dans l'angle N'MN", voit MN' à droite et MX'^ à gauche. Dans une hélice tournant de droite à gauche, la disposition du trièdre est inverse.
Si l'on considère maintenant une courbe gauche quelconque, on voit, qu'aux environs d'un point M, elle peut aflecter deux allures difFérentes, suivant que le trièdre des directions positives M /, ^IX', MX", présente une disposition ou l'autre. Si cette disposition est la même que dans une hélice sinistrorsum, on dit que la courbe, au point M, est sinistrorsum ; sinon, elle est dextrorsum.
On peut se rendre compte aussi de l'existence de ces deux
390 COURS D'AN Air SE
caSj en remarquant que, sur une petite étendue, un arc de courbe gauche quelconque peut être assimilé à un arc d'hélice circulaire : alors cet arc d'hélice peut tourner de gauche à droite ou de droite h gauche.
244. Hélice circulaire osculatrice. — On appelle hélice osculatrice, en un point M d'une courbe gauche, l'hélice circulaire ayant, en ce point, même tangente M /, même normale principale MX', même binormale orientée MN'', même rayon de courbure et même rayon de torsion. Un petit arc de cette hélice, au voisinage du point M, peut être pratiquement substitué à un petit arc de la courbe.
Soient R et T les rayons de courbure et de torsion de la courbe en M, a le rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracée
l'hélice osculatrice, h son pas et k la quantité -jj^ • Nous avons
vu que les rayons de courbure et de torsion d'une hélice circulaire sont
Actuellement, R et T étant connus, on tire a et k de ces formules. On a, immédiatement,
RV ^__ R^T
Pour mettre l'hélice osculatrice en place, rappelons-nous que la normale principale à une hélice circulaire rencontre normalement l'axe du cylindre sur lequel est tracée l'hélice et que la génératrice MG du cylindre, passant par un point M de l'hélice, est située dans le plan N"M/, en dehors deVangle^"}Al[fiij;. 125) et fait avec M/ un angle aigu, /MG= -p, dont la tangente trigonomé-
trique est-j-, c'est-à-dire -rr- , d'après les équations précédentes.
Ail.
Il faudra donc, pour avoir la direction des génératrices du cylindre, mener par le point M de la courbe, dans le plan N "M/ {fig. 128), une droite MG située en dehors de l'angle N''M / et
APPLICATIOS AUX HÉLICES. HÉLICE OSCULATRICE 891
laisiiiit avec M; un angle aigu f M G = o, dont la tangente
est
On porte ensuite, sur la normale princi-
RT' pale MX', une longueur MB =« = ^^ ^ ,p^
et on a un point de l'axe du cylindre. L'axe lui-même est la parallèle BB' à MG menée par B. L'hélice osculatrice est ainsi entièrement définie.
Fi g. i'28.
Théorème. L'axe du cylindre circulaire^ sur lequel est située l'hélice osculatrice à une courbe., en M, est la limite de la perpendiculaire commune à la normale principale à la courbe y en M, et à la normale principale infiniment voisine.
En effet, comme, dans une hélice circulaire, toutes les normales principales rencontrent normalement l'axe du cylindre, on peut dire que l'axe du cylindre est la perpendiculaire commune à deux normales principales quelconques. Si donc, on assimile un arc infiniment petit MM^ d'une courbe gauche à un arc d'hélice circulaire, l'axe du cylindre contenant cette hélice est la perpendiculaire commune aux normales principales à la courbe, en M et M,.
Ce théorème détermine complètement l'hélice osculatrice, car, une fois l'axe BB' du cylindre connu en position, le rayon du cylindre est BM, et l'hélice, ayant même tangente que la courbe, est déterminée, car, sur un cylindre, il n'y a qu'une hélice tangente à une droite donnée tangente au cylindre.
245. Remarque sur les caractéristiques des trois faces du trièdre M /NX' le long d'une courbe. — En chaque point d'une courbe gauche, nous avons défini un trièdre, dont les arêtes sont la tangente M/, la normale principale MN', la binormale MN"
(fig. 129;.
La face t MX' de ce trièdre est le plan osculateur ; la face N'MN'' est le plan normal ; la face ^MN" s'appelle le plan rectifiant. Voici la raison de cette dernière dénomination : quand le point M
iga
décrit la courbe donnée, le plan iMN'' enveloppe une surface développable sur laquelle est tracée la courbe: on démontre que, par le développement de cette surface sur un plan, la courbe donnée se transforme en une droite, c'està-dire est rectifiée. Nous énonçons seulement ce fait, pour justifier le nom de plan rectifiant.
Les caractéristiques des trois faces du tricdre, c'est-à-dire les droites par lesquelles les trois faces du trièdre touchent leurs enveloppes respectives, ont dos positions simples.
Plan osculateur. — Le plan osculateur enveloppe la surface développable engendrée parles tangentes (N** 209). La caractéristique de ce plan est donc la tangente.
Plan normal. — La caractéristique du plan normal est la droite CC^ menée par le centre de courbure G perpendiculairement au plan osculateur. Cette droite se nomme droite polaire correspondant au point M. En effet, l'équation du plan normal est, en appelant a', y, z les coordonnées de M
Quand M décrit la courbe, ,v, y, z, ol, ,3, y sont fonctions de l'arc s. L'équation du plan contient donc un paramètre s, et, pour avoir la caractéristique du plan, c'est-à-dire l'intersection du plan normal avec le plan normal infiniment voisin, il faut associer, à l'équation (1), l'équation dérivée par rapport à s.
Cette équation est, d'après les formules de Frenet et la relation a^ + fi^+Y'- = l,
elle représente un plan perpendiculaire à la normale principale et passant par le point
comme on le vérifie immédiatement.
EXERCICES SUR LES COURBES GAUCHES SgJ
Ce point est précisément le centre de courbure C (X** 239). L'ensemble des équations (1) et (2) représente donc bien la droite CC passant par le centre de courbure et perpendiculaire au plan osculateur, ou droite polaire.
Plan rectifiant. — Quand le point M décrit la courbe donnée, la caractéristique du plan rectifiant, ou intersection du plan rectifiant, en M, avec le plan rectifiant au point infininiciit xoi^in M^, est la génératrice MG du cylindre circulaire, sur lequel est tracée l'hélice osculatrice, en M. En effet, les plans rectifiants en M et Mj sont perpendiculaires aux normales principales, en M et Mj ; leur intersection est donc parallèle à la perpendiculaire communie à ces deux normales principales, c'est-îi-dîre à Taxe du cylindre contenant Thélice osculatrice.
