Ligne dont la courbure est nulle. — Si l'on cherche la
ligne dont la courbure est nulle, — = 0, en chaque point, on
doit évidemment trouver une droite. En effet, les formules
ds ~ W ds "~ R ' ds~ R' deviennent alors
il o !lL-0 ^=0 ds ~ ' ds — ' ds
Elles montrent que a, ^S, y sont constants. La tangente à la ligne ayant une direction fixe, prenons l'axe Or parallèle à cette direction, nous aurons
OU
ds ' ds ' ds
On en conclut
A,B, C étant des constantes. La ligne est donc une droite parallèle h 0^.
247. Ligne dont le plan osculateur est indéterminé en chaque point. — Pour que le plan osculateur soit indéterminé, il faut et il suflit que les coefFicients de Téquation du plan osculateur soient nuls en tous les points de la ligne :
dyd''z — dzdhj = 0, dzd-,v — dxd'z=0, dxd^ij — dyd^œ = 0.
On en
conclut
dh,
dx
du
dz
Tout d
'abord la
relation
drz
dx dx
donne, en intégrant,
log dx = log dz -\- log a , a désignant une constante. On en déduit
dx = adz^ X = az-\- h,
h étant une nouvelle constante. De même la relation
dfj ~ dz
donne
y = hz-\-k,
h et k étant deux constantes. Les deux équations ainsi obtenues
.f = «--[-//, y =: ljz-\-k, définissent une lii^ne droite.
