Courbe dont la torsion est nulle. — Nous allons montrer

qu'une courbe, dont la torsion est nulle, en tous ses points, est

plane. En effet, si —- = 0, les formules

dT." ^ d^J[ dy'^Y ds "^ T' ds ^ T' ds ~ T'

EXERCICES SUR LES COURBES GAUCHES 3y')

donnent

i?îl=o, ÉÏL^o JÏL^o.

ds ' ds ' ds

Donc a", P", y^' sont constants et la binormale a une direction fixe. Prenons l'axe Oc parallèle à cette direction, nous avons

Alors le plan osculateur est perpendiculaire à Oc, et on a

di/d'z — dzd'y = 0, dxd-z—dzd'jc=0.

Ces deux équations sont du premier degré en ^c et d^z\ comme le déterminant

dyd^x — dxd-yy

ne peut pas être nul, car, s'il était nul, le plan osculateur serait indéterminé, on a

^^ = 0, d'z = 0, c'est-à-dire

la courbe est donc située dans un plan parallèle au plan des xy.

249. Une courbe, le long de laquelle ~f=r est constant, est une

hélice. — Pour démontrer ce théorème, remarquons que les formules

dx ol' ds~ R'

ds ~ R'

dy Y

do." a' ds T'

dr ?'

ds T '

df i ds T

donnent, par division, en supposant -^ ^ X,

d^' = \d%, d'^" = Ae/?, df = \dy. Comme A est supposé constant, on a, par l'intégration, ^"==\i — a. '^j" = ip—b, •/' = Xy — c,

OÙ a, b, c sont des constantes d'intégration. Multipliant la première de ces équations par a, la deuxième par |3, la troisième par Y ^t ajoutant, on a

(1) 0==X — («a4-Ai3 + ry),

Cette relation (i) montre que a, b, c ne peuvent pas être nuls en même temps, car elle donnerait '). = 0. Elle exprime que la tangente à la courbe lait un angle constant avec Ta direction

En effet, appelons 9 l'angle de la tangente avec cette direction D, on a

cos

s/7i} -\- b' + c^ Va^-^b

0 est donc constant. On en conclut que la courbe est une hélice tracée sur un cylindre, dont les génératrices sont parallèles à la direction (D). En efïet, si, par les difïerents points de la courbe, ou mène des parallèles à (D), l'on obtient un cylindre, dont la courbe coupe les génératrices sous un angle constant. En développpant ce cylindre, on transforme la courbe en une droite.