Une courbe, dans laquelle W et'V sont constants^est une

hélice tracée sur un cylindre de révolution. — En eilet, -=r étant

constant, la courbe est une hélice. Or nous avons vu (N'^242) que, dans une hélice tracée sur un cylindre (juelconque, le rayon de courbure R, en un point ([uelconcjue, est en rapport constant avec le rayon de courbure p du point correspondant de la section droite du cylindre. Si donc R est constant, p l'est aussi et la section droite du cylindre est un cercle. Ce qui démontre le théorème.

ETUDE D'UNE COURBE GAUCHE /: .\ f.V POIM'

IV. - ÉTUDE DUNE COURBE GAUCHE DANS LE VOISINAGE D'UN POINT NON SINGULIER

Fig. i3o.

251. Développements des coordonnées en fonction de lare. — Prenons coninio origine un point O de la courbe, pour ax(î des r la tangente, pour axe des /y la normale principale, pour axe des ::

la binormale. Soit M un point de la courbe voisin de O, s l'arc OM, a, ;i. Y, ol\ 3', y, a^ .3'^ y" les cosinus directeurs de la tangente, de la normale principale et de la Ijinormale en ce point, R et T les rayons de courbure et de torsion au même

point. Au point O, « est nul, R et T prennent les valeurs R,, etï„, et les neuf cosinus prennent, à cause du choix des axes, les valeurs suivantes.

Les coordonnées .r, y, - du point M sont des fonctions de s

que nous développerons par la formule deMac-Laurin en remarquant que /"(O), cp (0), •} (0) sont nuls.

Calculons les premiers coeflicients de ces développements. On

1, 1 1 . . dx du dz ^ , « o

a d abord, en écrivant que --7— , —^ •> -j- sont égaux a a, p, y,

m=«. 'f'W = P. fi^)=ï;

ilérivant encore par rapport à s, et, remplaçant -7- par -j^,,

ds ^' '* R on a

dérivons encore une fois, en désignant par R' la dérivée de R par rapport à s et rappelant que — y- == ^ ™- , etc., il vient

rW= Rî-^'— Rr--RT'