AX + BY+CZ

La distance du point M (.r, //, -) à ce plan est

En remplaçant .r, //, 3 par les développements (2), on voit que, si A n'est pas nul, 0 est infiniment petit du premier ordre par rapport as; si A est nul, sans que B le soit, le plan passe par la tangente et ne coïncide pas avec le plan osculateur, 0 est du deuxième ordre; si A et B sont nuls, le plan coïncide avec le plan osculateur en O, 0 est du troisième ordre. Le théorème est donc démontré.

253. Cercle osculateur ou cercle de courbure. — Soit M un point de la courbe {//i,^. 130), A sa projection sur le plan osculateur Mi/^ en 0, P sa projection sur la tangente Ox. Nous allons d'abord démontrer, comme pour une courbe plane, que le rayon de courbure R^, au point O, est donné par

R„ = lim^£l.

quand M tend vers O. Pour cela, remarquons que, dans le triangle rectangle MAP, Tangle en P, que nous appellerons 8, mesure l'angle du plan OPM avec le plan .rO//, osculateur en 0. Quand M tend vers 0 , le plan OPM , passant par la tangente Ox et le point M infiniment voisin de O, tend vers le plan osculateur en O, :rO//, et Q tend vers zéro.

Comme on a

AP = MPcose,

on voit que

4oo COURS D'ANALYSE

et, comme cos 8 tend vers 1,

lim

2MP 2AP 2 y '

car OP = ar, AP = ?/. D'après les développements (2), on a

en divisant le numérateur et le dénominateur par s^ et faisant tendre ensuite 5 vers zéro, on trouve

lim

Ro^

ce qui démontre la proposition que nous avions en vue.

Nous conclurons facilement de ce résultat le suivant, que

nous avons déjà établi pour les courbes planes :

Le cercle de courbure, en un point 0 d'une courbe, est la limite d'un cercle tangent en O à la courbe et passant par un point aM infiniment ç'oisin de 0. En effet, soit O//' Tintersection du plan OPM avec le plan des i/z ; le centre C d'un cercle tangent à Or et passant par M, se trouve sur Oi/', Appelons R^ le rayon de ce cercle et M' le deuxième point où PM rencontre ce cercle : on a

ÔP-==PMxPM';

mais PM' est égal à 2IV — PM ; donc

ÔP'' = PM(2R'— .PM),