V. -DÉVELOPPEMENT D'UNE SURFACE DÉVELOPPABLE SUR UN PLAN

256. Figure schématique d'une courbe gauche. — On peut se représenter une courbe gauche comme un polygone gauche

ABCDE d'un nombre infiniment grand de côtés infiniment

petits. Les tangentes sont alors les prolongements des côtés BB',

ce, ; les plans osculateurs sont les plans de trois sommets

consécutifs ABC, BCD, etc.; les cercles de courbure, les cercles passant par trois sommets consécutifs ABC,BCD

257. Une surface développabîe peut être exactement appliquée sur un plan. — C'est cette propriété qui est Torigine du nom de surface développabîe : l'opération qui consiste à appliquer la surface sur un plan s'appelle le développement de la surface.

Pour démontrer cette propriété, nous généraliserons le mode de raisonnement employé, dans les éléments, pour développer les cônes et les cylindres.

Considérons Farète de rebroussement comme un polygone ABCDE... d'un nombre infiniment grand de côtés infiniment petits. Les tangentes successives à l'arête de rebroussement sont les prolongements des côtés du polygone; une première tangente est ABB', une deuxième BCC, une troisième CDD',

etc Les tangentes définissent une surface

polyédrale dont les faces sont les angles B'BC',C'CD',D'DFy,... que nous numérotons 1,2,3,.. [fig. 132). Cette surface polyédrale a pour limite la surface développabîe, quand le polygone ABCDE... devient une courbe. On peut développer, sur un plan, cette surface polyédrale de la façon suivante.

Faisons tourner le plan de la face 1 autour, de BCC, de façon à l'amener dans le prolongement de la face 2. Faisons ensuite tourner l'ensemble des faces 1 et 2 ainsi obtenu, autour de CDD'.

4o4 COURS D'ANALYSE

jusqu'à ce qu'il se place dans le prolongement de la face 3. Puis, faisons tourner Fensemble des faces 1,2 et 3 ainsi obtenu, autour de DEE^, jusqu'à ce qu'il se place dans le prolongement du plan de la face 4? et ainsi de suite... Nous arriverons finalement à mettre toutes les faces de la surface polyédrale dans un même plan, et nous aurons ainsi réalisé le développement de la surface sur un plan.

258. Quand on applique sur un plan une surface dèveloppable,le rayon de courburOy en un point de F arête de rebroussement, ne change pas. — Pour démontrer ce théorème, remarquons que, dans l'opération que nous venons défaire pour développer la surface polyédrale, dont les faces sont 1, 2, 3,.., les côtés et les angles du polygone ABCDE... restent les mêmes. Pour les côtés, la proposition est évidente. Pour les angles, quand on amène, par une rotation autour de BCC, la face 1 sur le prolongement de la face 2, l'angle ABC du polygone ne change pas, car le côté AB, tournant autour de BC, décrit un cône de révolution d'axe BC. De même, quand on amène les faces de Tensemble 1 et 2, ainsi obtenu, à coïncider avec le prolongement de la face 3, par une rotation autour de CDD', l'angle BCD ne change pas, et ainsi de suite... Il résulte de là, que les rayons des cercles, passant par trois sommets consécutifs du polygone ABC, BCD,... ne changent pas. Quand les côtés du polygone tendent vers zéro, le polygone devient une courbe et les cercles, passant par trois sommets consécutifs, deviennent les cercles de courbure aux difierents points de la courbe. Comme ces cercles ne changent pas dans le développement, le rayon de courbure, en un point de l'arête de rebroussement, reste inaltéré dans le développement.

259. Application. — Le théorème précédent donne un moyen de voir ce que devient l'arête de rebroussement d'une surface développable, quand on développe la surface.

Pour cela, on prendra un point O' comme origine des arcs, O'M = s, sur l'arête de rebroussement, et on calculera l'expression du rayon de courbure R de l'arête, en un point quelconque M, en fonction de l'arc ,s' :

DEVELOPPEES îo5

(U'VICU

It'vcloppeinent, l'arèfc de rrlxousscnu'ut devient une 'omlx' plane oj|jl, (o étant ce (pie devient le point O' et jjl ce que t le point M. La courbe plane cjjjl a même longueur d'arc que l'arête de rebronssenient

arc w^ = 6', et même rayon de courbure en jjl :

Pour trouver la courbe (oa, on est donc ramené à trouver une courbe plane, connaissant le rayon de courbure en l'onction de Tare, problème que nous avons résolu au n^ 232.

Par exemple, si l'arête de rebronssenient est une hélice circulaire. R est constant (X° 241); donc, par le développement de la surface développable formée par ses tangentes, l'hélice circulaire se transforme en une courbe plane aijajit un rayon de courbure constant R^ c'est-à-dire en un cercle de rayon R.