VI. - DÉVELOPPÉES
260. Développées . — Considérons une courbe quelconque, plane ou gauche C, et menons-lui une suite de normales formant une surface développable, c'est-à-dire admettant une eni>elo/)pe. Cette enveloppe (arête de rebronssenient de la surface développable formée par les normales considérées) s'appelle une déi'cloppèe de la courbe.
D'après cela, une courbe a une infinité de développées. En effet, prenons arbitrairement une normale M„\ au point M^. Au point voisin ^f^, on peut mener une normale MjN, rencontrant M„Ny en un point N^ ; il su (lit, pour cela, de joindre M^ au point N,, où le plan normal, en M,, coupe M^\. De même, au point M^, voisin de M^, on peut mener une normale M.N^ rencontrant M^ X, en un pointN^,... etc., et ainsi de suite. On obtient, de cette façon, une surface polyédrale dont les arêtes, constituées par les pro-
longements des côtés du polygone Nj^N^X^Nj..., sont toutes «o/*- « maies à la courbe.
f)/ Si on suppose que les points M(),Mj,M2,M3, ...
se rapprochent indéfiniment, cette surface polyédrale devient une surface développable , dont toutes les génératrices sont normales à la courbe ; le polygone ^^(jN^NgNg... devient Tarête de rebroussement de la surface développable, c'est-à-dire une développée de la courbe. On a donc ainsi une développée tangente à une normale initiale M^^N^ arbitrairement choisie.
261. Propriété fondamentale des développées . — Considérons une développée D^ de la courbe C ; soit MM^ une normale à C, en M, tangente à D^ en Mj [fig. 135). Désignons par l la longueur de cette nor-, maie
et par s^ Tare de développée O^M^ compté à partir d'une origine fixe O,, de telle façon que la tangente M^M soit menée dans le sens des arcs s^ positifs. Soit M'^M' une normale infiniment voisine h C tangente à Dp en M,, l-\-dl la longueur de ]M'jM'.
D'après la formule générale donnant la différentielle de la longueur d'un segment de droite (X° 1G3), on a
Fig. i35.
dl
MM'cos M'MM.
M.M'.cosM'.M.M
Mais cos M'MM^ =0, car MM, est normale h MM^ ; cos M',M,M = 1, car M, M est tangente à la développée D, ; enfin
-ds,.
On a donc :
ds,.
Intégrant et des
iignant par c une
constante
D EVE LOI* pli: s 407
Donc la somme de M, M et de l'arc 0,M, est constante. La développée étant supposée connue, on peut tracer mécaniquement la courbe C en prenant un fil inextensible de longueur c, attachant ce fil en O, et Tenroulant partiellement sur la développée de O^ en M,, en le maintenant tendu de M^ en M. L'extrémité M du fil décrit la courbe C.
262. Théorème. La normale principale à la développée y au point M,, est parallèle à la tangente en M à la courbe.
Pour démontrer ce théorème, appelons .î*!, y,,2, les cordonnées du point Mj et convenons, d'une façon générale, d'affecter de l'indice 1 toutes les quantités relatives à la développée. Ainsi s^ est l'arc de développée; a,, j3,,Yj, seront les cosinus directeurs de la tangente M, M à la développée, aj, ^!, yl, les cosinus directeurs de la normale principale à la développée, R, le rayon de courbure en M^.
Les cordonnées du point M étant égales à celles de M^, augmentées des projections du segment M^M sur les trois axes, on a, puisque MjM =1 (fig. 135),
(M) x=jr^-\-h^, ij = fj^-\-lp^, ^ = ^^4/y^.
Ces formules différentiées donnent (1) dx = dx^^ -\- cf.^dl-\- ld:f.^ , . . . ;
mais on a, pour la courbe C,
dx = cLds, dij ■^= '^ds, dz = ydsj
et, pour la développée,
dx^ = 7.^ds^, dy^ = ^^ds^, dz^=:y^ds^,
ol' 3' '^''
da,= -^ds,, dp, = ^ds,, dy,==-^ds,.
Les formules (1) deviennent donc
a.ds = OL^{ds^ -hdl)-hl-^ ds^,...
4o8 COURS D'ANALYSE
Or, d'après la propriété fondamentale de la développée, on a
donc
(2) ads = -^y[ds^, '^ds = —'^[ds^, rds = ^^y[ds^.
Ces formules montrent que a'p p',, y',, cosinus directeurs de la normale principale à la développée en M^, sont proportionnels à a, p, y, cosinus directeurs de la tangente en M à la courbe. Le théorème est donc démontré.
Remarque. — Faisant la somme des carrés des relations (2) et extrayant la racine carrée du résultat, on a
donc
263 . Si on considère deux développées D, et D, d'une courbe C, les tangentes ^IM, et MM^ à ces deux développées se coupent sous un angle constant, en M, tout le long de la courbe C. — En effet, appelons <^-ji ?ii Yi ^^ '^i-, ^i-> Yâ les cosinus directeurs des tangentes M^M et M^^I aux deux développées, s^ et s^ les arcs, R^ et R, les rayons de courbure des deux déve- Pig, , 5(i. loppées, et a, ,3, y les cosinus directeurs
de la tangente M/, au point M, à la courbe C (//^^ 13G).
L'angle O des deux normales MM^ et .MM^ est donné par
cose = a,a,+ 3„3,-f-y,y,.
Difierentiant, on a :
— sin m = a,rfa, -j- ?//?, -f- y//y. + a//x, -f- ?//?, + Tt^T,.
