DÉVELOPPÉES

Mais, d'après les formules de Frenet appliquées aux deux développées, on a

dy.^

^ds^, d'^^^^ds^, dy^=:^ds^,

car les normales principales aux deux développées, étant parallèles à la tangente M^, ont pour cosinus directeurs a, ,3, y. Portant ces valeurs de ^a^,..., doL^,... dans l'expression de — sin ^dh, on trouve,

— sinQ^e=0, car on a :

les droites MMj et MM, étant perpendiculaires à M/. Comme d^ est nul, 8 est constant.

D'après cela, si on prend deux fils attachés aux deux points 0^ et Oj; des deux développées et ayant pour longueurs respectives :

arcO,M^4-M^M,

arcOjM^-^-M.M,

et si, de plus, on attache ces fils l'un à l'autre par leurs extrémités libres en M, quand on fait décrire au point M la courbe C, les deux fils s'enroulent sur les deux développées et se coupent en M sous un angle constant.

Le plan M^MM, de cet angle étant le plan normal à la courbe C enveloppe une surface développable, qu'il touche, le long de la droite menée par le centre de courbure de la courbe C perpendiculairement au plan osculateur de cette courbe [N° 245), ou droite jwlaire. Comme, d'autre part, ce plan touche évidemment son enveloppe, suivant la droite M,Mj, on voit que la droite, joignant les deux points de contact M, M,, est perpendiculaire au plan osculateur à C, en M, et passe par le centre de courbure de C, relatif au point M.